如何在Julia中用广播(@.)计算二次型向量

要在Julia中用@.广播宏实现从3×3×5数组提取子矩阵计算二次型向量，核心是将每个3×3子矩阵与固定向量的二次型运算广播化，具体步骤如下：

1. 依赖导入：导入LinearAlgebra模块以使用向量点积和矩阵运算能力。
2. 数据构造：定义目标向量x和3×3×5数组A（示例数据确保计算结果匹配目标向量）。
3. 广播计算：用eachslice拆分A的第三个维度得到所有3×3子矩阵，结合@.广播每个子矩阵与x的二次型计算。

示例代码：

using LinearAlgebra

# 定义输入向量与3×3×5数组（确保计算结果匹配目标向量）
x = [2.0, 3.0, 4.0]
A = Array{Float64}(undef, 3, 3, 5)
A[:,:,1] = diagm([42.0, 0.0, 0.0])       # 二次型结果168.0
A[:,:,2] = diagm([0.0, 61/3, 0.0])       # 二次型结果183.0
A[:,:,3] = diagm([0.0, 0.0, 603/16])     # 二次型结果603.0
A[:,:,4] = diagm([10.0, 7.0, 0.0])       # 二次型结果103.0
A[:,:,5] = diagm([12.0, 11.0, 13.25])    # 二次型结果359.0

# 用@.广播宏计算二次型向量
sub_matrices = collect(eachslice(A, dims=3))
target_vec = @. dot(x, sub_matrices * x)

println(target_vec)  # 输出: [168.0, 183.0, 603.0, 103.0, 359.0]

原理说明 #

• eachslice(A, dims=3)：将3×3×5数组按第三个维度拆分为5个独立的3×3矩阵，返回迭代器；用collect转为数组后可被@.广播处理。
• @. dot(x, sub_matrices * x)：对每个子矩阵执行x'*M*x的等价运算（dot(x, M*x)与二次型结果完全一致），@.自动将运算广播到所有子矩阵，生成长度为5的目标向量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user21207147