求解硬币找零问题Python程序的时间复杂度分析咨询

首先要明确：你写的代码并不是返回最少硬币数，而是返回所有能组成目标金额的不同硬币组合的数量（不考虑顺序）。比如第二个测试用例count([1,3,5,7],8)返回6，对应的是这6种组合：

• (1,1,1,1,1,1,1,1)
• (1,1,1,1,1,3)
• (1,1,1,5)
• (1,1,3,3)
• (1,7)
• (3,5)
  而实际最少硬币数是2，这是代码逻辑的错误，需要注意。

你的猜测O(n^(target/min(coins)))是时间复杂度的上界核心项，但还要加上后续的排序和集合操作的开销，完整的时间复杂度可以拆解为以下几部分：

1. 递归调用的次数 #

递归的最大深度是k = target // min(coins)（因为每次递归至少减去最小面额的硬币，最多k步就会达到0或负数）。
每一层递归的每个节点，都会遍历所有n种硬币，生成n个新的递归调用。因此，所有递归调用的总次数是O(n^k) = O(n^(target/min(coins)))，这和你的猜测一致。
这里包含了大量无效调用：比如当target-coin < 0时，调用会直接终止，但这些调用仍然会被执行，计入时间开销。

2. 有效组合的处理开销 #

当递归走到target == 0时，会执行以下操作：

• 对当前硬币序列vals排序：时间复杂度是O(m log m)，其中m是序列长度（m ≤ k），最坏情况是O(k log k)
• 将排序后的序列转为tuple存入集合answers：集合插入的时间复杂度是O(m)（需要计算tuple的哈希值，遍历所有元素）

每个有效组合会被多次遍历（比如组合(1,7)会以(1,7)、(7,1)两种顺序被递归到），但最终只会在集合中存一次。不过所有顺序的序列都会被处理，所以这部分的总开销是O(C * k log k)，其中C是不同组合的数量，但C远小于n^{k，所以整体时间复杂度的主导项还是n}k。

3. 最终的时间复杂度 #

综合来看，程序的时间复杂度为O(n^(target/min(coins)) * k log k)，其中k=target/min(coins)。在最坏情况下（比如硬币包含1），k=target，时间复杂度退化为O(n^target * target log target)，这是指数级的，效率极低。

• 递归参数的错误使用：helper函数的默认参数vals = []是可变对象，在递归中vals+[coin]会生成新列表，但target<0时的vals.pop()操作的是默认的空列表，这会导致逻辑混乱，可能出现意想不到的错误。
• 冗余计算：程序枚举了所有顺序的硬币序列，再通过排序去重，这会产生大量重复计算，比如同一组合的不同排列都会被完整遍历一遍，极大浪费资源。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jason Grace