Eigen中高效计算ABA^T的方法探究，求方法1的实现方案

问题背景 #

已知A为r×c矩阵，B为c×c矩阵，需计算对称矩阵S = ABA^T。原计算量为2rc²，但由于S是对称矩阵，仅需计算上三角或下三角部分即可减少一半乘法运算。

方法1的解决方案：仅计算矩阵乘法的上三角部分 #

Eigen完全支持仅计算不同尺寸矩阵乘法的上三角部分，核心是利用triangularView()限定计算范围，避免冗余运算。具体实现代码如下：

#include <Eigen/Dense>

int main() {
    int r = 1000, c = 500;
    Eigen::MatrixXd A(r, c), B(c, c);
    // 初始化A、B（示例省略）
    
    // 第一步：计算D = AB
    Eigen::MatrixXd D = A * B;
    
    // 第二步：仅计算DA^T的上三角部分并赋值给S
    Eigen::MatrixXd S(r, r);
    S.triangularView<Eigen::Upper>() = D * A.transpose();
    
    // 第三步：将上三角部分复制到下三角，补全对称矩阵
    S.triangularView<Eigen::Lower>() = S.transpose().triangularView<Eigen::Lower>();
    
    return 0;
}

执行S.triangularView<Eigen::Upper>() = D * A.transpose()时，Eigen会自动仅计算上三角区域的元素，跳过下三角的冗余计算，刚好能节省rc²/2次乘法，完全符合方法1的优化预期。

如果不需要显式存储完整对称矩阵，也可以直接通过selfadjointView()操作后续计算，省去复制步骤：

// 直接创建对称视图，后续计算仅操作上三角
auto S_sym = S.selfadjointView<Eigen::Upper>();
S_sym = D * A.transpose();

关于方法2的补充说明 #

将B做LLT分解为LL^T后，通过rankUpdate计算S=(BL)(BL)^T的思路虽可行，但LLT分解的O(c³)复杂度会抵消乘法优化的收益，尤其是当c较大时，整体效率反而不如方法1，不推荐使用。

额外优化建议 #

1. 若B本身是对称矩阵，可利用B.selfadjointView()优化AB的计算，进一步减少运算量。
2. 根据硬件环境选择Eigen的存储顺序（行优先RowMajor/列优先ColMajor），匹配CPU缓存机制，提升计算效率。
3. 对于超大矩阵，可采用分块计算策略，将矩阵拆分为小尺寸块后分别计算，充分利用缓存局部性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Song Yalong