已知X₁~Xₙ的分布，如何解析推导Y=f(X₁,…,Xₙ)的PDF表达式？

解析求解Y的PDF是否可行，核心取决于函数f的形式和各Xᵢ的PDF类型：

• 若f是单调变换、线性组合、可分离的简单非线性函数，且Xᵢ的PDF是有闭合解析形式的常见分布（如正态、均匀、指数、伽马等），同时Xᵢ相互独立（或联合PDF有解析表达式），那么解析求解完全可行。
• 若f是高度复杂的非线性函数（如嵌套分段、多值映射），或Xᵢ的PDF无闭合形式，或联合分布难以用符号表达，解析求解会非常困难甚至无法实现。

以下步骤针对Xᵢ相互独立的场景（若Xᵢ不独立，需替换为联合PDF）：

1. 定义符号变量与PDF #

用syms声明所有随机变量、参数及目标变量y，输入每个Xᵢ的边缘PDF符号表达式。
示例：

syms x1 x2 y mu1 mu2 sigma1 sigma2 real
% 定义两个独立正态变量的PDF
fX1 = (1/(sigma1*sqrt(2*pi)))*exp(-(x1 - mu1)^2/(2*sigma1^2));
fX2 = (1/(sigma2*sqrt(2*pi)))*exp(-(x2 - mu2)^2/(2*sigma2^2));

2. 构建Y的累积分布函数（CDF） #

Y的CDF是联合PDF在区域f(x₁,…,xₙ) ≤ y上的多重积分：
$$F_Y(y) = P(Y ≤ y) = \int\cdots\int_{f(x_1,\dots,x_n) ≤ y} \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i) dx_1\cdots dx_n$$
需根据f的形式确定每个积分变量的上下限，再用Matlab的int函数嵌套实现多重积分。
示例（Y = X₁ + X₂）：

% 联合PDF
fX = fX1 * fX2;
% 积分区域：x2 ≤ y - x1，x1遍历全体实数
FY = int(int(fX, x2, -inf, y - x1), x1, -inf, inf);

3. 对CDF求导得到PDF #

Y的PDF是CDF对y的一阶导数，用diff函数实现：

fY = diff(FY, y);

4. 简化与验证 #

用simplify或rewrite函数简化得到的符号表达式，确保结果简洁易读。必要时可代入具体参数，与数值方法（如少量蒙特卡洛抽样）对比验证正确性：

fY = simplify(fY);
% 代入具体参数验证
fY_eval = subs(fY, {mu1, mu2, sigma1, sigma2}, {0, 0, 1, 1});
% 此时fY_eval应为标准正态分布的PDF

• 若f是多值映射（即一个y对应多个(x₁,…,xₙ)集合），需拆分积分区域分别计算后求和。
• 若多重积分无法通过Matlab符号引擎解析求解（返回未计算的积分表达式），则说明该场景下解析方法不可行，需考虑数值近似方法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ArraysShouldStartAt1