将一阶导数代入含高阶导数表达式的替换问题求助

问题原因 #

subst函数只能替换完全匹配的表达式。你定义的O0sol是diff(P0,T0)=w0，只有diff(P0,T0)会被替换为w0，而二阶导数diff(P0,T0,2)、混合导数diff(diff(P0,T0),T1)等和一阶导数不是同一个表达式，因此无法直接被替换。但根据数学规则，常数的导数为0，所以这些高阶导数都应该等于0，需要让Maxima识别这个推导关系。

解决方案 #

方法1：使用gradef定义导数规则 #

gradef是Maxima中专门用于定义函数导数的命令，直接指定P0对T0的一阶导数为常数w0，后续求高阶导数时会自动计算常数的导数为0：

declare([w0], constant);
depends(P0, [T0, T1]);
gradef(P0, T0, w0);  /* 定义P0对T0的一阶导数为w0 */

ex1: diff(P0, T0);       /* 输出：w0 */
ex2: diff(P0, T0, 2);    /* 输出：0 */
ex3: diff(diff(P0,T0),T1); /* 输出：0 */
ex4: diff(diff(P0,T1),T0); /* 输出：0（混合导数等价于diff(diff(P0,T0),T1)） */

方法2：使用tellrat建立替换规则 #

tellrat可以处理包含导数的有理表达式替换，定义一阶导数的等式后，高阶导数会自动根据导数规则推导：

declare([w0], constant);
depends(P0, [T0, T1]);
tellrat(diff(P0, T0) = w0);

ex1: diff(P0, T0);       /* 输出：w0 */
ex2: diff(P0, T0, 2);    /* 输出：0 */
ex3: diff(diff(P0,T0),T1); /* 输出：0 */
ex4: diff(diff(P0,T1),T0); /* 输出：0 */

方法3：手动展开高阶导数后替换 #

将高阶导数展开为一阶导数的导数，再替换一阶导数为常数，最后利用常数导数为0的规则计算：

declare([w0], constant);
depends(P0, [T0, T1]);
O0sol:[diff(P0,T0)=w0];

ex1: subst(O0sol, diff(P0,T0)); /* 输出：w0 */
ex2: subst(O0sol, diff(diff(P0,T0), T0)); /* 先展开二阶导数为一阶导数的导数，替换后得到diff(w0, T0)=0 */
ex3: subst(O0sol, diff(diff(P0,T0), T1)); /* 替换后得到diff(w0, T1)=0 */
ex4: subst(O0sol, diff(diff(P0,T0), T1)); /* 混合导数交换顺序后等价于上式，输出0 */

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nidish Narayanaa