如何用Python模拟动力系统的稳定与不稳定流形？代码问题求助

• 精确等于原点的判断完全不现实：数值迭代中，状态几乎不可能精确等于(0,0)，必须使用阈值判断（如abs(x_run) < 1e-6且abs(y_run) < 1e-6）来认定状态足够接近原点。
• 迭代次数设置错误：np.linspace(0,5000)默认仅生成50个元素，意味着每个初始点仅迭代50次，次数太少不足以让稳定流形上的点收敛到原点。应使用range(5000)实现指定次数的迭代。
• 数据存储效率极低：你将所有迭代步骤的状态都存入列表，会生成数千万个数据点，既占用内存又导致绘图卡顿。只需记录符合条件的初始点即可。
• 迭代逻辑可优化：虽然数学表达式正确，但用临时变量直接计算新状态并整体替换，会更清晰且避免潜在错误。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

# 存储稳定流形的初始点
stable_x = []
stable_y = []

# 初始条件网格
x_range = np.linspace(-0.5, 0.5, 100)
y_range = np.linspace(-0.5, 0.5, 100)

epsilon = -0.5
iterations = 5000  # 迭代次数
tol = 1e-6  # 收敛阈值

for x0 in x_range:
    for y0 in y_range:
        x, y = x0, y0
        for _ in range(iterations):
            # 计算下一时刻状态
            sin_term = math.sin(2 * math.pi * x)
            new_y = y + epsilon * sin_term
            new_x = x + y + epsilon * sin_term
            x, y = new_x, new_y
            
            # 提前终止：已足够接近原点则停止迭代
            if abs(x) < tol and abs(y) < tol:
                break
        
        # 判断最终状态是否接近原点，是则记录初始点
        if abs(x) < tol and abs(y) < tol:
            stable_x.append(x0)
            stable_y.append(y0)

# 绘制稳定流形
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(stable_x, stable_y, s=5, c='blue', label='稳定流形')
plt.xlabel('x₀')
plt.ylabel('y₀')
plt.title(f'原点附近的稳定流形 (ε={epsilon})')
plt.legend()
plt.grid(True)

# 可选：绘制部分初始点的迭代轨迹
plt.figure(figsize=(8,6))
test_points = [(-0.2, 0.1), (0.1, -0.1), (-0.3, -0.2)]
colors = ['red', 'green', 'orange']
for (x0, y0), color in zip(test_points, colors):
    x_traj, y_traj = [], []
    x, y = x0, y0
    for _ in range(1000):
        x_traj.append(x)
        y_traj.append(y)
        sin_term = math.sin(2 * math.pi * x)
        new_y = y + epsilon * sin_term
        new_x = x + y + epsilon * sin_term
        x, y = new_x, new_y
    plt.plot(x_traj, y_traj, color=color, label=f'初始点({x0},{y0})')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('部分初始点的迭代轨迹')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.show()

如果要计算不稳定流形，通常需要从原点附近的点反向迭代（求解逆映射：给定x_{n+1}, y_{n+1}推导x_n, y_n），因为正向迭代时不稳定流形上的点会快速远离原点，难以直接追踪。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者chrispeng