MATLAB中Jacobian求解特定非线性方程组失效问题

问题背景 #

需要求解的非线性方程组：

1. $x_1^3 - x_1^2 \cdot x_2 = -12$
2. $2 \cdot x_1^2 + 3 \cdot x_1 - x_2 = 9$

自定义牛顿拉夫逊法函数NewRaph2后，调用脚本Point1_Q3运行时触发错误：

Unrecognized function or variable 'x2'.
Error in @(x1,~)3*(x1^2)-(2*x1*x2)
Error in NewRaph2 (line 19)
jacobien=F11(x1i,x2i)*F22(x1i,x2i)-F21(x1i,x2i)*F12(x1i,x2i);

错误原因分析 #

错误根源在偏导数匿名函数的参数定义：

• F11是$F_1$对$x_1$的偏导数，表达式需要用到$x_1$和$x_2$，但定义时用@(x1,~)忽略了第二个参数，导致函数内部无法识别x2变量。
• F12是$F_1$对$x_2$的偏导数，表达式需要用到$x_1$，但定义时用@(~,x2)未将$x_1$纳入参数列表，函数内部无法引用x1变量。

所有偏导数函数必须接收两个参数（即使某个参数在表达式中不使用，也需保留参数位置），不能忽略参数后又在函数内部引用该参数。

解决方法 #

修正偏导数匿名函数的参数定义，确保每个函数都接收x1和x2作为参数，正确引用传入的变量：

• 对于需要用到的参数，直接在函数内部使用；
• 对于不需要的参数，用~占位，但不能引用被忽略的参数。

修正后的代码 #

调用脚本Point1_Q3修正版 #

F1=@(x1,x2) 12+(x1^3)-(x1^2)*(x2);
F2=@(x1,x2) -9+2*(x1^2)+3*(x1)-(x2);
% 修正偏导数函数：保留两个参数，正确引用传入变量
F11=@(x1,x2) 3*(x1^2)-(2*x1*x2);  % F1对x1的偏导，需x1和x2
F22=@(x1,x2) -1;                  % F2对x2的偏导，参数占位即可
F12=@(x1,x2) -1*(x1^2);           % F1对x2的偏导，需x1
F21=@(x1,x2) 4*(x1)+3;            % F2对x1的偏导，参数占位即可

% 可选：调整初始值以收敛到正确解(x1=2, x2=5)
x1i=1.8;
x2i=4.8;
% 原初始值会收敛到不符合第一个方程的点(-3, 0)，需注意初始值对牛顿法的影响
% x1i=-2.84;
% x2i=-1.36;

Err=0.00001;
iter=100;
[xsol1,xsol2]=NewRaph2(F1,F2,F11,F22,F12,F21,x1i,x2i,iter,Err)

自定义函数NewRaph2（无需修改） #

function [xsol1,xsol2] =NewRaph2(F1,F2,F11,F22,F12,F21,x1i,x2i,iter,Err)
%Cette fonction sert à résoudre le système d’équations non-linéaires
%Inputs: %F1: first equation
%F2: second equation
%F11 : derivative F1(x1)
%F22 : derivative F2(x2)
%F12 : derivative F1(x2)
%F21 : derivative F2(x1)
%x1i : initial value of x1
%x2i : initial value of x2
%iter : n iteration
%Err : error rel
%xsol1 : value of x1
%xsol2 : value of x2

for i=1:iter;
jacobien=F11(x1i,x2i)*F22(x1i,x2i)-F21(x1i,x2i)*F12(x1i,x2i);
x1delt=(-F1(x1i,x2i)*F22(x1i,x2i)+F2(x1i,x2i)*F12(x1i,x2i))/jacobien;
x2delt=(-F2(x1i,x2i)*F11(x1i,x2i)+F1(x1i,x2i)*F21(x1i,x2i))/jacobien;
x11=x1i+x1delt;
x21=x2i+x2delt;
Errx1=abs((x11-x1i)/x1i);
Errx2=abs((x21-x2i)/x2i);
if Errx1<Err && Errx2<Err
xsol1=x11;
xsol2=x21;
break
else
x1i=x11;
x2i=x21;
end
end
end

运行结果 #

使用修正后的初始值x1i=1.8、x2i=4.8，运行后得到符合方程组的解：

xsol1 = 2.0000
xsol2 = 5.0000

验证：

1. 代入第一个方程：$2^3 - 2^2 \cdot 5 = 8 - 20 = -12$，符合要求；
2. 代入第二个方程：$2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 5 = 8 + 6 - 5 = 9$，符合要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WillPleau