如何求数列通项公式？数列{1,5,18,56,160,432}求解需求

一、通项公式推导 #

观察数列各项与2的幂的比值：

• ( a_0/2^0 = 1 )
• ( a_1/2^1 = 5/2 = 2.5 )
• ( a_2/2^2 = 18/4 = 4.5 )
• ( a_3/2^3 = 56/8 = 7 )
• ( a_4/2^4 = 160/16 = 10 )
• ( a_5/2^5 = 432/32 = 13.5 )

令 ( b_n = a_n / 2^n )，其一阶差分为：1.5, 2, 2.5, 3, 3.5，是公差为0.5的等差数列。对 ( b_n ) 求和推导：
[
b_n = b_0 + \sum_{k=0}^{n-1} (1.5 + 0.5k)
]
代入 ( b_0=1 )，计算求和项：
[
\sum_{k=0}^{n-1} (1.5 + 0.5k) = 1.5n + 0.5 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2 + 5n}{4}
]
因此：
[
b_n = 1 + \frac{n^2 + 5n}{4} = \frac{(n+1)(n+4)}{4}
]
还原得到数列通项：
[
a_n = 2^n \cdot \frac{(n+1)(n+4)}{4} = (n+1)(n+4) \cdot 2^{n-2}
]
验证所有项均完全匹配原数列。

二、Mathematica函数使用误区 #

你得到的 1 - n/(1-2n)^3 并非生成函数，问题出在变量参数误用：

• FindGeneratingFunction 的第二个参数应指定生成函数的变量（通常用 ( x )），而非数列的索引 ( n )。

正确调用方式：

FindGeneratingFunction[{1, 5, 18, 56, 160, 432}, x]

返回结果为 ( \frac{1 - x}{(1 - 2x)^3} )，展开后系数完全匹配原数列。

至于 FindSequenceFunction 未返回结果，是因为它优先寻找默认初等函数表达式，若显式指定函数空间（多项式与指数函数的乘积），即可得到正确通项：

FindSequenceFunction[{1, 5, 18, 56, 160, 432}, n, "FunctionSpace" -> {Power[n, #] 2^n & /@ {0,1,2}}]

返回结果为 ( \frac{(n+1)(n+4) 2^n}{4} )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rand111