已知线性组合结果、系数及偏移，求解子向量A与B

1. 明确变量与对应关系 #

设偏移量为k（比如示例中B比A晚4个元素，k=4），A的长度为n（示例中n=50），则：

• A的元素：$A[i] = S[i]$，其中 $i=1,2,...,n$
• B的元素：$B[i] = S[i+k]$，其中 $i=1,2,...,n$
• R的每个元素满足：$R[i] = aA[i] + bB[i] = aS[i] + bS[i+k]$，$i=1,2,...,n$

2. 分区域推导求解 #

把S分为三个关联区域，通过R的元素方程建立线性关系：

• A独有区域：$S[1] \sim S[k]$（仅属于A，不在B中）
• 重叠区域：$S[k+1] \sim S[n]$（同时属于A和B）
• B独有区域：$S[n+1] \sim S[n+k]$（仅属于B，不在A中）

（1）关联方程拆解 #

从R的前$n-k$个元素可得：
$R[1] = aS[1] + bS[k+1]$
$R[2] = aS[2] + bS[k+2]$
...
$R[n-k] = aS[n-k] + bS[n]$

从R的后k个元素可得：
$R[n-k+1] = aS[n-k+1] + bS[n+1]$
$R[n-k+2] = aS[n-k+2] + bS[n+2]$
...
$R[n] = aS[n] + bS[n+k]$

（2）处理解的唯一性问题 #

这里方程数（n个）少于未知数（$n+k$个），无额外约束时解不唯一，需要结合实际场景补充约束：

• 若序列是因果信号，可假设A的前k个元素为0；
• 若序列是周期信号，可利用周期性（如$S[n+1]=S[1]$）消去自由变量；
• 若有先验知识，可直接给定A独有区域的元素值。

（3）逐步推导示例（以k=4、n=50为例） #

假设A的前4个元素为$x_1,x_2,x_3,x_4$：

1. 计算重叠区域：$S[5]=(R[1]-ax_1)/b$，$S[6]=(R[2]-ax_2)/b$，...，$S[50]=(R[46]-a*x_46)/b$
2. 计算B独有区域：$S[51]=(R[47]-aS[47])/b$，...，$S[54]=(R[50]-aS[50])/b$
3. 提取A（$S[1] \sim S[50]$）和B（$S[5] \sim S[54]$）

3. 伪代码实现 #

import numpy as np

# 已知参数
k = 4
n = 50
a = 2  # 示例系数
b = 3  # 示例系数
R = np.random.randn(n, 1)  # 示例结果向量

# 假设A的前k个元素为0（可根据实际调整）
S = np.zeros((n + k, 1))

# 计算重叠区域（Python索引从0开始，对应S[k+1:n+1]）
for i in range(n - k):
    S[i + k] = (R[i] - a * S[i]) / b

# 计算B独有区域（对应S[n+1:n+k+1]）
for i in range(n - k, n):
    S[i + k] = (R[i] - a * S[i]) / b

# 提取A和B
A = S[:n]
B = S[k:n + k]

核心是通过R的线性组合方程，建立A、B元素的关联关系；由于未知数数量多于方程数，必须补充场景约束才能得到唯一解，常见约束包括边界元素赋值、序列周期性等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dr.Anime