10×10米正方形栅格单元中心穿越平均距离计算问询

我创建了一个成本距离栅格，每个单元格标记了穿越10米单元格的预估通行时间。当前假设路径与单元格边垂直，通行距离为10米。为提升流程鲁棒性，我想计算在路径角度0至45度均匀分布的情况下，穿越单元格的平均时间，首先得确定平均距离。已知距离范围在10米到10√2米之间，不知道能不能直接取这两个值的平均，也就是(10 + 10√2)/2 = 12.0710678？

不能直接取两个极值的平均，因为角度均匀分布时，不同角度对应的距离并非线性变化，得通过积分计算准确的平均距离：

1. 设定参数：单元格边长a=10米，路径与垂直边的夹角为θ（范围0到45度，即0 ≤ θ ≤ π/4弧度）。此时穿越单元格的距离公式为：
   d(θ) = a / cosθ

2. 概率密度：由于角度在0-45度均匀分布，概率密度函数为f(θ) = 4/π（区间长度为π/4，概率密度为区间长度的倒数）。

3. 积分计算平均距离：
   平均距离是距离函数在角度区间内的加权积分，公式为：

   E(d) = (4/π) ∫₀^(π/4) (a / cosθ) dθ
   

   求解积分∫(1/cosθ)dθ = ln|secθ + tanθ|，代入上下限后得到：
   ln(√2 + 1) - ln(1) = ln(√2 + 1)

4. 代入数值计算：
   把a=10代入，得到：
   E(d) = (4*10/π) * ln(√2 + 1) ≈ 12.732 * 0.8814 ≈ 11.22米

所以正确的平均距离约为11.22米，并非直接取极值平均的12.07米。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vance