线性规划：构造连续变量对应的正、负、零二进制变量求助

给定连续变量 x ∈ [-M, M]，要构造二进制变量p、n、z满足你的定义，需要通过互斥约束+双向强制约束解决单向强制的问题，具体方案如下：

基础互斥约束 #

三个变量互斥且覆盖所有可能情况：

p + n + z = 1
p, n, z ∈ {0, 1}

正二进制变量p的约束（x>0时p=1，x≤0时p=0） #

添加两个约束实现双向强制：

1. 强制x>0时p必须为1，同时p=0时x必须≤0：

   x ≤ M*p
   

   逻辑：若x>0，左边x>0，右边M*p≥0，要满足不等式则p必须为1；若p=0，右边为0，不等式直接限制x≤0。

2. 强制p=1时x必须>0（避免p=1但x≤0的无效情况）：

   x ≥ ε - M*(1-p)
   

   其中ε是极小正数（如1e-6，可根据模型精度调整）。逻辑：当p=1时，1-p=0，不等式变为x≥ε>0，确保x为正；当p=0时，ε-M略大于-M，而x≥-M，不等式自动成立，不影响x≤0的情况。

负二进制变量n的约束（x<0时n=1，x≥0时n=0） #

采用和p对称的逻辑，添加两个约束：

1. 强制x<0时n必须为1，同时n=0时x必须≥0：

   x ≥ -M*n
   

   逻辑：若x<0，左边x<0，右边-M*n≤0，要满足不等式则n必须为1；若n=0，右边为0，不等式直接限制x≥0。

2. 强制n=1时x必须<0：

   x ≤ -ε + M*(1-n)
   

   逻辑：当n=1时，1-n=0，不等式变为x≤-ε<0，确保x为负；当n=0时，-ε+M略小于M，而x≤M，不等式自动成立，不影响x≥0的情况。

零二进制变量z的约束（x=0时z=1，否则z=0） #

结合互斥约束，添加两个约束强化：

x ≤ M*(1-z)
x ≥ -M*(1-z)

逻辑：当z=1时，1-z=0，两个不等式合并为0 ≤ x ≤ 0，即x=0；当z=0时，1-z=1，不等式退化为x的原始约束-M ≤ x ≤ M，无额外限制。

验证所有场景 #

• 当x>0：x ≤ M*p强制p=1，结合互斥约束得n=0、z=0，符合要求；
• 当x<0：x ≥ -M*n强制n=1，结合互斥约束得p=0、z=0，符合要求；
• 当x=0：若p=1则x≥ε不成立，若n=1则x≤-ε不成立，因此只能z=1、p=n=0，符合要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Archie