如何在PyTorch中对用于PINN的一维热方程进行无量纲化？

一、无量纲化推导 #

原热方程：
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
针对你的场景（杆长$L=1\ \text{m}$，时长$T=86400\ \text{s}$），定义无量纲变量：

• 无量纲空间：$\xi = \frac{x}{L}$（范围$[0,1]$）
• 无量纲时间：$\tau = \frac{t}{T}$（范围$[0,1]$）
• 无量纲温度：$u' = \frac{u}{U}$（$U$为特征温度，比如初始与边界的温度差，若无需温度缩放可直接取$u'=u$）

代入原方程推导得无量纲形式：
$$\frac{\partial u'}{\partial \tau} = Fo \cdot \frac{\partial^2 u'}{\partial \xi^2}$$
其中$Fo = \frac{\alpha T}{L^2}$是傅里叶数（无量纲参数），由你的$\alpha$、$T$、$L$计算得到。

二、PyTorch中的实现修改 #

需要修改以下三个核心部分：

1. 输入数据的无量纲化预处理 #

在生成或加载训练数据（包括PDE采样点、初始/边界条件点）时，先将原始的$x$（单位m）和$t$（单位s）转换为无量纲变量：

# 定义常量
L = 1.0  # 杆长，单位m
T = 86400.0  # 总时长，单位s
alpha = 你的alpha值  # 单位m²/s
Fo = alpha * T / (L ** 2)  # 计算傅里叶数

# 对输入数据x（空间）、t（时间）做无量纲化
def normalize_input(x, t):
    xi = x / L
    tau = t / T
    # 组合成网络输入（形状：[N, 2]，第一列ξ，第二列τ）
    return torch.cat([xi, tau], dim=1)

后续所有输入网络的数据（包括x_PDE、初始条件点、边界条件点）都要经过这个函数处理。

2. 修改PDE残差损失函数 #

原代码基于有量纲变量计算导数，现在适配无量纲方程。修改后的损失函数如下：

def lossPDE(self, x_PDE_normalized):
    # x_PDE_normalized是无量纲输入，形状[N,2]，列分别是ξ和τ
    g = x_PDE_normalized.clone()
    g.requires_grad = True
    f = self.forward(g)  # f对应无量纲温度u'

    # 计算一阶导数：∂u'/∂ξ 和 ∂u'/∂τ
    f_xi_tau = torch.autograd.grad(
        f, g, torch.ones([g.shape[0], 1]).to(device),
        retain_graph=True, create_graph=True
    )[0]
    f_tau = f_xi_tau[:, [1]]  # ∂u'/∂τ

    # 计算二阶导数：∂²u'/∂ξ²
    f_xi2_tau2 = torch.autograd.grad(
        f_xi_tau, g, torch.ones(g.shape).to(device),
        create_graph=True
    )[0]
    f_xi2 = f_xi2_tau2[:, [0]]  # ∂²u'/∂ξ²

    # 无量纲PDE残差：∂u'/∂τ - Fo * ∂²u'/∂ξ²
    pde_residual = f_tau - self.Fo * f_xi2
    return self.loss_function(pde_residual, self.f_hat)

注意：需要在类中添加Fo属性，初始化时传入计算好的傅里叶数。

3. 初始/边界条件的适配 #

如果初始条件或边界条件涉及有量纲的温度值，也要同步做无量纲化（比如初始温度$u_0(x)$转换为$u_0'(x) = u_0(x)/U$），确保网络输出的无量纲温度和标签匹配。

三、关键说明 #

• 无量纲化后，输入变量$\xi$和$\tau$都在$[0,1]$范围内，能有效缓解PINN训练中因变量尺度差异导致的梯度不稳定问题。
• 傅里叶数$Fo$是唯一的无量纲参数，若后续调整场景（比如杆长、时长），只需重新计算$Fo$即可，无需大幅修改网络结构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Link_tester