如何在Z3 SMT Solver中指定给定的模算术约束条件？

C# .NET API 实现 #

首先确保已通过NuGet安装Microsoft.Z3包。以下代码实现了题目中的约束条件，并利用逻辑简化提升效率（将多析取式转为“非零模等价”）：

using System;
using Z3;

class Z3ModConstraintExample
{
    static void Main()
    {
        using (Context ctx = new Context())
        {
            // 定义布尔类型的比特变量b0-b4（对应取值0/1）
            BoolExpr b0 = ctx.MkBoolConst("b0");
            BoolExpr b1 = ctx.MkBoolConst("b1");
            BoolExpr b2 = ctx.MkBoolConst("b2");
            BoolExpr b3 = ctx.MkBoolConst("b3");
            BoolExpr b4 = ctx.MkBoolConst("b4");

            // 计算线性组合：b0*2^0 + b1*2^1 + ... + b4*2^4
            IntExpr term0 = ctx.MkMul(ctx.MkIte(b0, ctx.MkInt(1), ctx.MkInt(0)), ctx.MkInt(1));
            IntExpr term1 = ctx.MkMul(ctx.MkIte(b1, ctx.MkInt(1), ctx.MkInt(0)), ctx.MkInt(2));
            IntExpr term2 = ctx.MkMul(ctx.MkIte(b2, ctx.MkInt(1), ctx.MkInt(0)), ctx.MkInt(4));
            IntExpr term3 = ctx.MkMul(ctx.MkIte(b3, ctx.MkInt(1), ctx.MkInt(0)), ctx.MkInt(8));
            IntExpr term4 = ctx.MkMul(ctx.MkIte(b4, ctx.MkInt(1), ctx.MkInt(0)), ctx.MkInt(16));
            IntExpr sum = ctx.MkAdd(term0, term1, term2, term3, term4);

            // 约束f1：sum模5不等于0（等价于原问题中的4个析取式）
            BoolExpr f1 = ctx.MkNot(ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(5)), ctx.MkInt(0)));

            // 约束f2：sum模7不等于0（等价于原问题中的6个析取式）
            BoolExpr f2 = ctx.MkNot(ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(7)), ctx.MkInt(0)));

            // 合并总约束F = f1 ∧ f2
            BoolExpr totalConstraint = ctx.MkAnd(f1, f2);

            // 求解并输出结果
            Solver solver = ctx.MkSolver();
            solver.Assert(totalConstraint);
            
            Status result = solver.Check();
            if (result == Status.SATISFIABLE)
            {
                Model model = solver.Model;
                Console.WriteLine("可行解：");
                Console.WriteLine($"b0 = {model.Eval(b0)}");
                Console.WriteLine($"b1 = {model.Eval(b1)}");
                Console.WriteLine($"b2 = {model.Eval(b2)}");
                Console.WriteLine($"b3 = {model.Eval(b3)}");
                Console.WriteLine($"b4 = {model.Eval(b4)}");
                
                IntExpr sumVal = (IntExpr)model.Eval(sum);
                Console.WriteLine($"sum值：{sumVal}，sum mod5：{model.Eval(ctx.MkMod(sumVal, ctx.MkInt(5)))}，sum mod7：{model.Eval(ctx.MkMod(sumVal, ctx.MkInt(7)))}");
            }
            else
            {
                Console.WriteLine("无可行解");
            }
        }
    }
}

显式析取式实现（与原问题完全对应） #

若需严格按照原问题的多析取式写法，可将f1和f2替换为以下代码：

// 显式定义f1：sum ≡1∨2∨3∨4 mod5
BoolExpr f1 = ctx.MkOr(
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(5)), ctx.MkInt(1)),
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(5)), ctx.MkInt(2)),
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(5)), ctx.MkInt(3)),
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(5)), ctx.MkInt(4))
);

// 显式定义f2：sum ≡1∨2∨3∨4∨5∨6 mod7
BoolExpr f2 = ctx.MkOr(
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(7)), ctx.MkInt(1)),
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(7)), ctx.MkInt(2)),
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(7)), ctx.MkInt(3)),
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(7)), ctx.MkInt(4)),
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(7)), ctx.MkInt(5)),
    ctx.MkEq(ctx.MkMod(sum, ctx.MkInt(7)), ctx.MkInt(6))
);

SMT-LIB 语法实现 #

若使用Z3的命令行或其他支持SMT-LIB的接口，可使用以下代码：

(declare-fun b0 () Bool)
(declare-fun b1 () Bool)
(declare-fun b2 () Bool)
(declare-fun b3 () Bool)
(declare-fun b4 () Bool)

; 定义线性组合sum
(define-fun sum () Int
  (+ (* (ite b0 1 0) 1)
     (* (ite b1 1 0) 2)
     (* (ite b2 1 0) 4)
     (* (ite b3 1 0) 8)
     (* (ite b4 1 0) 16)))

; 断言约束：sum模5≠0 且 sum模7≠0
(assert (not (= (mod sum 5) 0)))
(assert (not (= (mod sum 7) 0)))

; 求解并获取模型
(check-sat)
(get-model)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者vvg