基为10精度3的浮点系统下二次方程判别式计算与误差分析

问题背景 #

求解二次方程 (ax^2 + bx + c = 0)，其中 (a=1.22)，(b=3.34)，(c=2.28)，采用基(\beta=10)、精度(p=3)的规格化浮点系统，完成以下问题：

1. 计算(b^2−4ac)的浮点计算值；
2. 求判别式在精确实数运算中的准确值；
3. 计算判别式浮点计算值的相对误差。

问题1：判别式的浮点计算值 #

按照3位精度的浮点规则逐步计算：

fl(b · b) = fl(3.34 · 3.34) = fl(11.1556) = 11.2
fl(4 · a · c) = fl(fl(4 · a) · c) = fl(fl(4 · 1.22) · 2.28) = 
fl(fl(4.88) · 2.28) =
fl(4.88 · 2.28) = fl(11.1264) = 11.1
fl(11.2 − 11.1) = 0.1

最终浮点计算结果：0.1

问题2：判别式的精确实数运算准确值 #

通过精确代数计算得到：

b² − 4ac = 3.34² − 4×1.22×2.28 = 11.1556 − 11.1264 = 0.0292

精确值：0.0292

问题3：浮点计算值的相对误差 #

根据相对误差公式 (\text{相对误差} = \frac{|\text{浮点结果} - \text{精确值}|}{|\text{精确值}|})，代入数值计算：

相对误差 = |0.1 - 0.0292| / |0.0292| = 0.0708 / 0.0292 ≈ 2.4247

相对误差约为：2.4247

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