使用Python的Matplotlib绘制欧拉近似与解析解出现异常输出求助

核心错误：解析解公式完全错误 #

你代码里的解析解函数f = lambda x,y: math.exp(x+(y/5))完全不符合微分方程dy/dx = x + y/5（初始条件y(0)=-3）的正确解析解。

正确解析解推导 #

这是一阶线性非齐次微分方程，整理为标准形式：

dy/dx - (1/5)y = x

通过积分因子法求解，最终得到的解析解为：
$$y(x) = 22e^{x/5} -5x -25$$

验证初始条件：当x=0时，$y(0)=22*1 -0 -25=-3$，符合要求。

其他问题 #

• 解析解计算错误依赖欧拉迭代的y值：原代码中计算analytical_values时，用了当前欧拉步骤的y值，这完全不合理——解析解是x的独立函数，应该直接用x计算对应值。

修改后的代码 #

import math
import matplotlib.pyplot as plt

def euler_method(step_size):
    first_x = 0
    last_x = 5
    h = step_size
    n = int((last_x - first_x) / h)
    x = 0
    y = -3

    # 微分方程的右端函数
    dydx = lambda x, y: x + (y / 5)
    # 正确的解析解函数，仅依赖x
    analytical_solution = lambda x: 22 * math.exp(x / 5) - 5 * x - 25

    x_values = []
    euler_values = []
    analytical_values = []

    for _ in range(n):
        x_values.append(x)
        euler_values.append(y)
        # 用当前x计算解析解的值
        analytical_values.append(analytical_solution(x))
        # 欧拉方法更新y和x
        y += dydx(x, y) * h
        x += h
    
    # 添加最后一个点（x=5）
    x_values.append(x)
    euler_values.append(y)
    analytical_values.append(analytical_solution(x))

    plt.plot(x_values, euler_values, 'ro-', x_values, analytical_values, 'b-')
    plt.legend(['欧拉近似解', '解析解'])
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.title(f'欧拉方法与解析解对比（步长={step_size}）')
    plt.show()

euler_method(1)

修改说明 #

1. 替换了错误的解析解函数，改为正确的仅依赖x的表达式
2. 计算解析解时直接使用当前x值，不再依赖欧拉迭代的y
3. 优化了变量命名（如dy改为dydx），提升代码可读性
4. 给欧拉近似解的折线添加了连线（ro-），更直观展示迭代过程
5. 添加了坐标轴标签和标题，增强图表可读性

运行修改后的代码，就能得到正确的欧拉近似解与解析解的对比图，步长越小，欧拉解越接近解析解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ad270