如何生成服从指定概率密度函数f(x)的随机数？

你的尝试问题分析 #

你写的拒绝采样逻辑有两个核心问题：

• 判断条件完全搞反了：正确的逻辑应该是当随机生成的阈值小于等于f(a)时接受a，而不是大于；
• 没有处理f(x)取值超过1的情况：当f(a)>1时，b∈[0,1]永远小于f(a)，按你的逻辑会直接拒绝a，但实际上这些点是目标分布中概率更高的区域，应该更容易被接受才对。

方法1：修正后的拒绝采样法（通用，无需求积分） #

这是最常用的通用方法，只要能找到f(x)的上界就可以用：

1. 确定常数M：找到一个正数M，使得在目标随机数的取值区间内，所有x都满足 f(x) ≤ M（因为f是归一化的概率密度，这个M一定存在，比如取f(x)的最大值）。
2. 循环采样：
   • 生成取值区间内的均匀随机数 a（比如取值区间是[L,R]，就生成a ~ Uniform(L,R)）；
   • 生成[0, M]范围内的均匀随机数 b（等价于生成u ~ Uniform(0,1)，计算 b = u * M）；
   • 如果 b ≤ f(a)，直接返回a；否则重复上述步骤。

举个简单例子：假设f(x)=3x²，x∈[0,1]（积分是1），f(x)的最大值M=3。采样时：

• 生成a∈[0,1]，u∈[0,1]，计算b=3u；
• 如果3u ≤ 3a² → u ≤ a²，就接受a，否则重新采样。

方法2：逆变换采样法（效率更高，需可求CDF逆函数） #

如果f(x)的累积分布函数（CDF）可以解析求解，并且其逆函数存在，这个方法效率比拒绝采样高：

1. 计算累积分布函数F(x)：F(x)是f(x)的积分，即 F(x) = ∫_{x_min}^x f(t)dt（x_min是取值区间左端点），题目中已说明取值范围内积分是1，所以F(x_max)=1。
2. 求F(x)的逆函数F⁻¹：找到函数x=F⁻¹(u)，满足F(x)=u。
3. 采样生成：生成u ~ Uniform(0,1)，返回F⁻¹(u)即可。

例子：还是f(x)=3x²，x∈[0,1]，CDF是F(x)=x³，逆函数是F⁻¹(u)=u^(1/3)。生成u∈[0,1]，返回u的三次方根，就符合f(x)的分布。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JavaGamesJAR