如何用Python构造以指定点为顶点的最贴合圆锥并计算其Pointedness

给定k个n维点集合{p₁, p₂, ..., pₖ}，选取其中一个点i（1 ≤ i ≤ k）作为顶点，如何计算以此点为尖端的最贴合圆锥？同时如何计算该圆锥的Pointedness？

核心思路参考（Joseph O'Rourke） #

如果所有方向向量都落在过原点的同一个半空间内，可以计算单位球面上向量端点的凸包（convex hull），得到球面上的凸多边形，再找到外接该多边形的最小圆。也可以通过投影到合适平面来避免球面计算。
我知道这是抽象视角，你可能更需要具体建议，但核心思路仍有帮助：凸包 + 最小外接圆。

Python实现方案 #

可借助cvxopt的锥规划库以及SciPy的凸包工具落地上述思路，步骤如下：

• 将所有点相对于顶点i做平移，得到从i出发的方向向量集合
• 对所有方向向量做单位化处理，将端点映射到单位球面上
• 使用SciPy的凸包工具计算这些单位向量端点的凸包
• 求解该凸包在球面上的最小外接圆：球心对应圆锥的轴线方向，圆的半径对应圆锥的半顶角（即决定Pointedness的关键参数）

二维空间的朴素求解思路 #

在二维场景中，圆锥的半顶角等价于圆弧的半角，可通过以下逻辑计算圆锥角度（即Pointedness）：

import numpy as np

# 给定顶点point_i（假设为NumPy数组）
points = [...]  # 所有n维点的集合
point_i = points[0]

# 选取除i外的任意一个点j
point_j = next(p for p in points if not np.array_equal(p, point_i))
min_theta = 0

for p in points:
    if np.array_equal(p, point_i) or np.array_equal(p, point_j):
        continue
    # 计算以i为顶点，向量ij到ip的夹角cur_theta
    vec_ij = point_j - point_i
    vec_ip = p - point_i
    cur_theta = np.arccos(np.dot(vec_ij, vec_ip) / (np.linalg.norm(vec_ij) * np.linalg.norm(vec_ip)))
    if cur_theta > min_theta:
        min_theta = cur_theta

注：此处用NumPy实现了夹角计算，实际需根据数据结构调整细节。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SumNeuron