Golang牛顿法实现疑问：首次迭代后z²为何恒大于x？

首先明确前提：我们讨论的是x>0（求平方根的合理输入）、z≠0（否则会触发除零错误）的情况，且默认关注正平方根（若初始z为负，迭代后会转为正，推导逻辑一致）。

首次迭代的数学推导 #

代码中首次迭代的公式是：

z -= ((z*z - x) / (2*z))

将其化简为数学表达式，设初始值为z₀，首次迭代后得到z₁：
$$
z_1 = z_0 - \frac{z_0^2 - x}{2z_0} = \frac{z_0^2 + x}{2z_0}
$$

现在计算z₁²与x的差值：
$$
z_1^2 - x = \left( \frac{z_0^2 + x}{2z_0} \right)^2 - x = \frac{(z_0^2 - x)^2}{4z_02}
$$
由于平方数非负，分母$4z_0^{2$始终为正（z₀≠0），因此$z_1}2 - x \geq 0$，即z₁²≥x：

• 当且仅当初始z₀恰好等于√x时，$z_0^2 - x=0$，此时z₁²=x；
• 其他所有情况，z₁²必然大于x。

这就解释了为何首次迭代后z²总是大于等于x，你测试未找到反例是因为数学上不存在这样的反例。

关于返回错误根的担忧 #

代码中的for循环会在z²>x时持续迭代，每次迭代的公式同样是牛顿法的步骤：
$$
z_{n+1} = \frac{z_n^2 + x}{2z_n}
$$
由于首次迭代后z₁≥√x，后续迭代会让z逐渐向√x收敛（每次迭代的z都会小于前一次的z，同时始终大于等于√x），直到z²≤x时退出循环。此时的z已经是√x的足够近似值，不会返回错误根。

原代码展示 #

package main

import (
    "fmt"
)

func Sqrt(x, z float64) float64 {
    z -= ((z*z - x) / (2*z))
    
    for z*z > x {
        z -= ((z*z - x) / (2*z))
    }
    return z
}

func main() {
    fmt.Println(Sqrt(100, 1))
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vishak Arudhra