Haskell中map、filter与fork相关等式验证：找出错误等式

以下是对6个Haskell等式逐一验证的结果：

• 等式1：map f . take n = take n . map f
  成立。无论f是何种函数、n取何值，先取列表前n个元素再映射，与先映射整个列表再取前n个元素的结果完全一致。
  示例：令f = (+1)，n=2，列表[1,2,3]
  左边：map (+1) (take 2 [1,2,3]) = [2,3]
  右边：take 2 (map (+1) [1,2,3]) = [2,3]

• 等式2：map f . reverse = reverse . map f
  成立。反转列表后映射，等价于先映射整个列表再反转，映射操作不改变元素的相对顺序反转结果。
  示例：令f = (*2)，列表[1,2,3]
  左边：map (*2) (reverse [1,2,3]) = [6,4,2]
  右边：reverse (map (*2) [1,2,3]) = [6,4,2]

• 等式3：map f . sort = sort . map f
  不成立。只有当f是单调函数时等式才成立，若f不单调，会破坏排序后的元素顺序。
  示例：令f = (mod 2)，列表[3,1,2]
  左边：map (mod2) (sort [3,1,2]) = map (mod2) [1,2,3] = [1,0,1]
  右边：sort (map (mod2) [3,1,2]) = sort [1,1,0] = [0,1,1]
  左右结果明显不同，等式不成立。

• 等式4：map f . filter p = map fst . filter snd . map (fork (f,p))
  成立。这里fork (f,p)表示将元素x转换为元组(f x, p x)：左边先过滤出满足p的元素再映射f；右边先给每个元素生成(f x, p x)元组，过滤出snd为真（即p x为真）的元组，再取fst部分，两者结果一致。
  示例：令f = (+1)，p = even，列表[1,2,3,4]
  左边：map (+1) (filter even [1,2,3,4]) = [3,5]
  右边：map fst (filter snd (map (\x -> (x+1, even x)) [1,2,3,4])) = map fst [(3,True),(5,True)] = [3,5]

• 等式5：reverse . concat = concat . reverse . map reverse
  成立。左边先拼接所有子列表再整体反转；右边先反转每个子列表，再反转子列表的顺序，最后拼接，两者结果等价。
  示例：子列表[[1,2],[3,4]]
  左边：reverse (concat [[1,2],[3,4]]) = reverse [1,2,3,4] = [4,3,2,1]
  右边：concat (reverse (map reverse [[1,2],[3,4]])) = concat (reverse [[2,1],[4,3]]) = concat [[4,3],[2,1]] = [4,3,2,1]

• 等式6：filter p . concat = concat . map (filter p)
  成立。左边先拼接所有子列表再过滤满足p的元素；右边先过滤每个子列表中满足p的元素再拼接，结果完全相同。
  示例：令p = odd，子列表[[1,2],[3,4]]
  左边：filter odd (concat [[1,2],[3,4]]) = [1,3]
  右边：concat (map (filter odd) [[1,2],[3,4]]) = concat [[1],[3]] = [1,3]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aditya Bansal