为何R中qnorm()计算结果与summary()分位数不一致？

你用R生成了一组正态分布的随机样本，发现qnorm()计算的分位数和summary()给出的样本分位数不一样，代码和运行结果如下：

set.seed(123)
X<-rnorm(100,10,1)
summary(X)
qnorm(0.5,10,1)
qnorm(0.25,10,1)
qnorm(0.75,10,1)

运行输出：

> summary(X)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  7.691   9.506  10.062  10.090  10.692  12.187 
> qnorm(0.5,10,1)
[1] 10
> qnorm(0.25,10,1)
[1] 9.32551
> qnorm(0.75,10,1)
[1] 10.67449

差异的核心原因有两个：

• 计算对象完全不同：
  qnorm(p, mean, sd)计算的是理论正态分布的分位数，是基于你指定的均值、标准差的理想正态分布，通过CDF反函数得到的精确理论值，和样本无关。比如qnorm(0.25,10,1)就是均值10、标准差1的正态分布中，有25%的数据小于这个值，这是固定的理论结果。
• summary()的分位数是样本统计量：
  summary()给出的是你生成的100个随机样本的分位数，它是基于样本数据排序后，用R默认的type=7分位数算法插值得到的。样本本身是随机生成的，哪怕固定了随机种子，这也只是这一组样本的统计结果，必然会和理论值有偏差——毕竟样本只是理论分布的“近似”，不是完美复刻。

另外，样本量也会影响偏差大小：如果把样本量从100改成10000，再运行代码，你会发现summary()的分位数会非常接近qnorm()的结果，样本量越大，样本统计量就越接近理论参数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Roshan Ahmad Shaheen