求含未知点(x5,y5)的两点距离算法：平行线垂线几何问题

问题背景 #

已知多个点的坐标，仅点$(x_5,y_5)$未知。需完成操作：过指定点作某已知直线的平行线，再从另一点作该平行线的垂线，交点即为$(x_5,y_5)$，最终计算目标两点间的距离。

算法步骤 #

1. 推导已知直线的斜率与方程 #

设已知直线由点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$确定：

• 若$x_2 \neq x_1$，直线斜率 $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，直线方程为 $y = k(x - x_1) + y_1$
• 若$x_2 = x_1$，直线为垂直于x轴的竖线，方程为 $x = x_1$

2. 求过目标点的平行线方程 #

假设过点$(x_3,y_3)$作上述直线的平行线：

• 若原直线非竖线，平行线斜率与原直线相同，方程为 $y = k(x - x_3) + y_3$
• 若原直线是竖线，平行线为 $x = x_3$

3. 推导平行线的垂线方程 #

假设从点$(x_4,y_4)$作该平行线的垂线：

• 若平行线非竖线，垂线斜率为 $k_{\perp} = -\frac{1}{k}$，方程为 $y = k_{\perp}(x - x_4) + y_4$
• 若平行线是竖线，垂线为水平线，方程为 $y = y_4$

4. 求解未知点$(x_5,y_5)$的坐标 #

联立平行线与垂线的方程，解得交点坐标：

• 情况1：平行线为斜线
  联立 $y = k(x - x_3) + y_3$ 和 $y = -\frac{1}{k}(x - x_4) + y_4$，解得：
  $$x_5 = \frac{k(x_3 + kx_4) + y_4 - y_3}{k^2 + 1}$$
  将$x_5$代入平行线方程，即可算出$y_5$
• 情况2：平行线为竖线
  联立 $x = x_3$ 和 $y = y_4$，直接得 $(x_5,y_5) = (x_3, y_4)$
• 情况3：平行线为水平线（原直线为水平线时）
  平行线方程为 $y = y_3$，垂线为竖线 $x = x_4$，得 $(x_5,y_5) = (x_4, y_3)$

5. 计算两点间距离 #

用平面两点距离公式计算目标点（比如$(x_4,y_4)$与$(x_5,y_5)$）的距离：
$$distance = \sqrt{(x_5 - x_4)^2 + (y_5 - y_4)^2}$$
若计算其他点与$(x_5,y_5)$的距离，替换对应坐标即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Özden