为何2D随机步长实验中总路程与步数平方根呈二次关系而非线性？

我正在研究2D随机步长问题，需证明总路程与步数的平方根呈线性关系，但实验结果显示总路程与步数线性相关、与步数平方根呈二次关系。附上实验代码，请问是代码存在错误，还是我对理论存在误解？
我尝试将代码与数学表达式对应，未发现差异，不知问题出在哪里。

原实验代码 #

import matplotlib.pyplot as plt
import random
import math
#defining the initial values of the variables to start at 0 and the number of iterations (n) to be 1000.
x = 0
y = 0
n = 1000
listx = []
listy = []
listr= []
listn = []
r = 0

#starting a for loop with n iterations.
for i in range (0, n+1):
  #Appending all x values to listx
  listx.append(x)

  #Appending all y values to listy
  listy.append(y)

  #Generating random coordinates in both dimensions in the range between -1 and 1 for both x and y values.
  x -= (random.random()-0.5)*2 
  y -= (random.random()-0.5)*2 

  #Defining r to be the distance covered each step using the Pythagorean theorem and appending the total distance covered after each step to listr
  r += math.sqrt(x**2 + y**2)
  listr.append(r)

for i in range(0, n+1):
  listn.append(math.sqrt(i))

#Plotting the random steps taken using each given value of x and y. 
plt.plot(listx, listy)
plt.xlabel("steps in the x-axis")
plt.ylabel("steps in the y-axis")
plt.title("Visualization of the random steps taken")
plt.show()

#Plotting the relation between the total distance covered and the number of iteration. 
plt.plot(listn, listr)
plt.xlabel("square root of n")
plt.ylabel("distance")
plt.title("Distance covered vs the number of iteration")
plt.show()

核心问题：代码逻辑错误 + 概念混淆 #

1. 总路程计算完全错误

你代码中r += math.sqrt(x**2 + y**2)的逻辑是累加当前位置到原点的距离，而不是累加每一步的移动距离（步长）。这直接导致r的增长速度远快于实际总路程，最终呈现和√n的二次关系。

正确的总路程计算应该是：每一步计算当前位移的变化量Δx和Δy，然后累加sqrt(Δx² + Δy²)得到总路程。

2. 混淆了「总路程」和「位移」的理论定义

随机步的核心理论结论是：位移的均方值与步数n线性相关（即<r²> ∝ n，因此平均位移<r> ∝ √n），但总路程是每一步步长的总和——如果每一步步长固定，总路程必然和n线性相关，和√n呈二次关系。你把「位移」的理论结论错误套用到了「总路程」上，这是概念误解。

修正后的代码 #

下面是修正了总路程计算、采用标准随机步（固定步长、随机角度）的代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import random
import math

x, y = 0, 0
n = 1000
listx = [x]
listy = [y]
total_distance_list = []
sqrt_n_list = []
total_distance = 0

for i in range(1, n+1):
    # 生成随机角度，步长固定为1的标准2D随机步
    angle = random.uniform(0, 2 * math.pi)
    dx = math.cos(angle)
    dy = math.sin(angle)
    
    # 更新位置并记录
    x += dx
    y += dy
    listx.append(x)
    listy.append(y)
    
    # 累加每一步的步长到总路程
    total_distance += math.sqrt(dx**2 + dy**2)
    total_distance_list.append(total_distance)
    
    # 记录步数的平方根
    sqrt_n_list.append(math.sqrt(i))

# 绘制随机路径
plt.plot(listx, listy)
plt.xlabel("X轴位置")
plt.ylabel("Y轴位置")
plt.title("2D随机步路径可视化")
plt.show()

# 绘制总路程与√n的关系（此时总路程和n线性，和√n二次，符合预期）
plt.plot(sqrt_n_list, total_distance_list)
plt.xlabel("步数的平方根(√n)")
plt.ylabel("总路程")
plt.title("总路程 vs √n")
plt.show()

# 如果要验证位移和√n的线性关系，计算每一步的位移并绘制
displacement_list = [math.sqrt(x_pos**2 + y_pos**2) for x_pos, y_pos in zip(listx, listy)]
plt.plot([math.sqrt(i) for i in range(n+1)], displacement_list)
plt.xlabel("步数的平方根(√n)")
plt.ylabel("位移（到原点的距离）")
plt.title("位移 vs √n")
plt.show()

总结 #

• 代码错误：总路程的计算逻辑错误，误将位置到原点的距离累加，而非每一步的步长。
• 理论误解：混淆了「总路程」和「位移」的概念，随机步的线性关系结论针对的是位移的均方值，而非总路程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Belal Bahaa