为何OpenCV的fitLine2D_wods采用该atan2相关代码实现？

首先要明确：fitLine2D_wods实现的是正交最小二乘回归（总体最小二乘），和你提到的常规最小二乘（仅最小化y方向误差）目标不同——它要最小化所有点到直线的垂直距离平方和，适用于x、y坐标都存在测量误差的场景。

核心数学推导 #

1. 数据中心化：先计算所有点的均值(mean_x, mean_y)，将每个点转换为中心化坐标dx_i = x_i - mean_x、dy_i = y_i - mean_y。

2. 统计量计算：代码中的dx2是所有dx_i的平方和，dy2是所有dy_i的平方和，dxy是所有dx_i*dy_i的乘积和。这三个值构成了点集的协方差矩阵（未做归一化，不影响方向计算）：

   M = [[dx2, dxy],
        [dxy, dy2]]
   

3. 直线方向与特征向量：正交回归的最优直线方向，对应协方差矩阵的最大特征值对应的特征向量（因为数据在这个方向上的方差最大，垂直方向方差最小，即点到直线的距离平方和最小）。

   要计算这个特征向量的角度θ，可利用旋转矩阵的性质：当坐标系旋转θ角后，协方差矩阵会变成对角矩阵（消除交叉项dxy）。根据三角函数的二倍角公式，旋转角θ满足：

   tan(2θ) = 2*dxy / (dx2 - dy2)
   

   对等式两边取反正切再除以2，就得到了代码中的t：

   t = (float) atan2( 2 * dxy, dx2 - dy2 ) / 2;
   

   这里t就是最优直线的方向角，后续可通过cos(t)和sin(t)得到直线的单位方向向量。

和常规最小二乘的区别 #

常规最小二乘假设x是无误差的自变量，仅最小化y方向的预测误差，得到的斜率为k = dxy/dx2，角度是atan(k)。但这种方法在x、y都有误差时会出现偏差，而fitLine2D_wods的正交回归能更准确地拟合直线。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Leapfrog