如何在CVXPY中设置(x==0)或(1≤x≤2)约束以最大化目标函数

现有目标函数$y=f(x)$，需在约束条件**每个x的分量$x_i$满足$(x_i==0)$ 或 $(1≤x_i≤2)$**下最大化$y$。以下是无x=0约束时，使用CVXPY实现$x∈[1,2]$下最大化$y$的Python代码及输出：

import cvxpy as cp
import numpy as np  # 原代码遗漏该导入，补充完整

x = cp.Variable((2,1))
alpha = np.array([-1,1]).reshape(1,-1)
y = alpha @ x
constraint = [x <= 2, x >= 1]
obj = cp.Maximize(y)
prob = cp.Problem(obj, constraint)

prob.solve()
print("optimal", prob.value)
print("solution", x.value.ravel())

输出：

optimal 1.0
solution [1.0 2.0]

需求与疑问 #

能否修改约束，让可行域变为每个$x_i$要么等于0，要么落在[1,2]区间内？用户给出的伪代码示例如下：

constraint = [x <= 2, x >= 1] or [x == 0]

预期输出：

optimal 2.0
solution [0.0 2.0]

解决方案 #

CVXPY不支持直接用or组合约束，需通过二进制指示变量建模这种“二选一”的逻辑约束。具体实现代码如下：

import cvxpy as cp
import numpy as np

x = cp.Variable((2, 1))
# 二进制变量，每个z[i]对应x[i]的选择：0表示x[i]=0，1表示x[i]∈[1,2]
z = cp.Variable(2, boolean=True)

alpha = np.array([-1, 1]).reshape(1, -1)
y = alpha @ x

# 构建约束：每个x[i]要么为0，要么在[1,2]内
constraints = []
for i in range(2):
    # z[i]=1时，x[i]≥1；z[i]=0时，x[i]≥0（结合下方x[i]≤0，即x[i]=0）
    constraints.append(x[i] >= z[i])
    # z[i]=1时，x[i]≤2；z[i]=0时，x[i]≤0
    constraints.append(x[i] <= 2 * z[i])
    # 确保x[i]非负，配合z[i]=0时的约束得到x[i]=0
    constraints.append(x[i] >= 0)

obj = cp.Maximize(y)
prob = cp.Problem(obj, constraints)

prob.solve()
print("optimal", prob.value)
print("solution", x.value.ravel())

代码说明 #

• 引入二进制变量z，每个z[i]控制对应x[i]的可行域：
  • 当z[i]=0时，x[i]≥0且x[i]≤0，强制x[i]==0；
  • 当z[i]=1时，x[i]被约束在[1,2]区间内。
• 该建模方式符合CVXPY对凸约束的要求，能正确求解出预期结果。

运行上述代码后，输出与预期一致：

optimal 2.0
solution [0.0 2.0]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3398100