利用Myhill-Nerode关系求等价类，构造O(logn)状态DFA

核心思路 #

你已经能写出2n状态的DFA，现在要压到O(logn)，关键是不用精确记录每一步的匹配长度，而是用二进制编码来压缩状态——毕竟我们只需要区分长度是否等于|x|，或者是否达到n（y的长度），二进制表示长度只需要logn位，对应的状态数就是对数级的。

基于Myhill-Nerode的等价类划分 #

Myhill-Nerode的核心是：两个字符串u和v等价，当且仅当给它们加任意后缀w后，uw和vw要么都被接受，要么都被拒绝。我们就按这个规则合并等价类：

• 设|x|=k < n，把所有前缀按当前匹配长度的二进制表示归类：
  1. 若u是x的前缀，且长度m在0到k之间：所有长度m对应的前缀，后续的接受规则完全一致——只要继续匹配x的剩余字符，直到长度k就接受，中途错了就拒绝。这些前缀可以合并成一个状态，用m的二进制编码表示。
  2. 若u是x的前缀但长度m在k+1到n之间：这些前缀后续不管加什么字符，只要最终长度到n就会拒绝（因为y长度是n但≠x），长度超过n也拒绝。同样，相同二进制编码的m可以合并成一个状态。
  3. 若u不是x的前缀，或者长度超过n：这些前缀不管加什么后缀，结果都是拒绝，直接合并成一个拒绝状态。
  4. 单独设一个接受状态：只有当输入恰好是x（长度k，完全匹配）时进入。

具体构造DFA #

1. 状态总数：用⌈log₂(n+1)⌉个状态表示0到n的二进制长度，加上接受和拒绝状态，总状态数是O(logn)，完全符合要求。
2. 转移规则：
   • 从表示长度m的状态输入字符c：
     • 如果m < k，且c和x的第m+1个字符匹配，就转移到m+1的二进制状态；不匹配直接去拒绝状态。
     • 如果m = k：此时如果输入结束，就进入接受状态；只要还有后续字符，直接去拒绝状态（因为x长度是k，更长的都不接受）。
     • 如果k < m < n：不管字符是什么，直接转移到m+1的二进制状态；当m+1 = n时，直接去拒绝状态（因为y长度是n，而此时字符串是x加n-k个字符，不可能等于y）。
     • 其他情况（比如m≥n，或者字符不匹配）直接跳到拒绝状态。
3. 初始状态：对应长度0的二进制状态；接受状态只有一个，拒绝状态也只有一个。

为什么比你之前的2n状态更优 #

你之前的构造应该是给每个长度都单独设了一个状态（从0到2n），但实际上很多长度对应的前缀在接受规则上是等价的——比如长度3和长度5，如果它们的二进制编码对应的状态能覆盖后续的判断逻辑，就可以合并。通过二进制压缩长度的表示，直接把线性状态数降到了对数级，这就是Myhill-Nerode等价类合并的威力：把行为一致的前缀都归到同一个状态里。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Charlie