逆函数泰勒展开公式、Lagrange Inversion Formula的简易证明及系数来源问询

一、逆函数泰勒展开的简便推导 #

假设$f(x)$在$x=a$处可逆，满足$f(a)=b$且$f'(a)\neq0$，记其逆函数为$g(y)=f^{-1}(y)$，我们可以通过复合函数求导递推来推导$g(y)$在$y=b$处的泰勒展开系数：

• 一阶导数：对恒等式$g(f(x))=x$两边求导，得$g'(f(x))\cdot f'(x)=1$，代入$x=a$直接得到$g'(b)=\frac{1}{f'(a)}$。
• 二阶导数：对$g'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}$两边求导，得$g''(f(x))\cdot f'(x)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^{2}$，代入$x=a$得$g''(b)=-\frac{f''(a)}{[f'(a)]}3}$。
• 三阶导数：继续对二阶导数的等式求导整理，代入$x=a$可得$g'''(b)=\frac{2[f''(a)]^2 - f'(a)f'''(a)}{[f'(a)]^5}$。

这种方式无需直接计算泰勒系数的极限定义，仅通过链式法则逐次求导递推，就能得到逆函数各阶导数，进而得到泰勒展开系数。

二、拉格朗日反演公式的简易证明 #

拉格朗日反演公式给出了逆函数泰勒系数的直接表达式，这里提供两种简易证明途径：

途径1：系数匹配递推 #

假设$f(x)$在$x=0$处解析，$f(0)=0$且$f'(0)\neq0$，其泰勒展开为$f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^{n$（$a_1=f'(0)\neq0$），逆函数$g(y)=\sum_{n=1}}\infty b_n y^n$。

利用$g(f(x))=x$，将两边展开为泰勒级数并匹配同阶系数：

• $x^1$项：$b_1 a_1=1 \implies b_1=\frac{1}{a_1}$。
• $x^2$项：$b_1 a_2 + b_2 a_1^2=0 \implies b_2=-\frac{a_2}{a_1^3}$。
• $x^3$项：$b_1 a_3 + 2b_2 a_1 a_2 + b_3 a_1^3=0 \implies b_3=\frac{2a_2^2 - a_1 a_3}{a_1^5}$。

以此类推，对任意$n\geq1$，通过匹配$x^n$项系数可递推得到$b_n$的表达式，这就是拉格朗日反演的离散递推形式。

途径2：复分析留数法（简洁版） #

利用柯西积分公式，逆函数$g(y)$的$n$阶系数$b_n=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{g(z)}{z^{n+1}}dz$（积分路径为包围$0$的小圆周）。

令$z=f(x)$，则$dz=f'(x)dx$，代入得：
$$b_n=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{x}{[f(x)]^{n+1}}f'(x)dx$$

注意到$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n[f(x)]^{n}\right)=-\frac{f'(x)}{[f(x)]}{n+1}}$，通过分部积分消去边界项（积分路径上$x$和$\frac{1}{[f(x)]^n}$均有界），可得：
$$b_n=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{dx}{[f(x)]^n}$$

由于$f(x)=x\cdot h(x)$（$h(0)=f'(0)\neq0$），代入后$\frac{1}{[f(x)]^{n}=\frac{1}{x}n [h(x)]^{n}$，展开$\frac{1}{[h(x)]}n}$为泰勒级数，仅$x^{n-1}$项对积分有贡献，最终得到标准拉格朗日反演公式：
$$b_n=\frac{1}{n}[x^{{n-1}]\left(\frac{f(x)}{x}\right)}{-n}$$
其中$[x^{k]$表示取泰勒级数中$x}k$项的系数。

三、系数中极限与导数的来源 #

泰勒系数的定义是$b_n=\frac{g^{{(n)}(b)}{n!}$，而$g}{(n)}(b)$是逆函数的$n$阶导数。导数本身的定义就是极限：$f^{(k)}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f^{(k-1)}(x)-f{(k-1)}(a)}{x-a}$，因此逆函数的导数（进而泰勒系数）必然由原函数的各阶导数组合而成，这就是系数中出现极限（导数）的根本原因。

通过递推过程可以清晰看到，逆函数的每一阶导数都依赖原函数的低阶导数，最终形成包含原函数导数的系数表达式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者quantum77