如何计算缩放矩形尺寸以适配旋转后的外矩形？

问题场景 #

现有红色外矩形与黑色内矩形各带对应尺寸，初始状态下黑色矩形适配于红色矩形内部。需计算将红色矩形旋转任意角度（示例为45deg）后，黑色矩形仍能适配于其中的新尺寸。两矩形中心均位于(0,0)。已参考仅适用于黑色矩形为正方形场景的方案，需适配任意长宽比的黑色矩形。

可行解决方向 #

• 基于投影约束的推导
  核心逻辑是：旋转后的外矩形四条边对黑色矩形顶点形成投影约束。设外矩形原始长宽为W、H，旋转角度为θ；黑色矩形目标长宽为w、h。黑色矩形所有顶点必须完全落在旋转后的外矩形内部，因此需满足外矩形在任意方向上的投影长度≥黑色矩形在同一方向的投影长度。
  具体拆解为两组约束：

  1. 外矩形旋转后在水平、垂直方向的投影范围，需完全覆盖黑色矩形的对应投影；
  2. 针对外矩形四条边的法向量方向，黑色矩形在该方向的投影长度不能超过外矩形的投影长度。
     通过联立这些不等式，可求解出w和h的最大可行值。

• 坐标系变换+边界检测
  将旋转后的外矩形通过逆变换转回原始轴对齐坐标系，此时问题转化为：在原始轴对齐的外矩形内，寻找一个最大矩形，使其旋转-θ后能完全适配（即原黑色矩形旋转-θ后的形状需落在原始外矩形内）。
  推导时，设黑色矩形旋转-θ后的顶点坐标，需全部满足原始外矩形的边界条件（x ≤ W/2、x ≥ -W/2、y ≤ H/2、y ≥ -H/2），进而得到关于w和h的约束不等式，求解最优解。

• 分角度区间的临界情况推导
  根据旋转角度θ的大小，内接矩形的适配模式会出现两种临界状态：

  1. 黑色矩形四条边分别与外矩形四条边相切；
  2. 黑色矩形两个顶点顶在外矩形对角边上，另外两个顶点顶在另外两条边上。
     针对不同θ区间（例如θ ≤ arctan(H/W)或θ > arctan(H/W)），分别推导对应的w和h计算公式，可精准得到最优解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user16484677