如何用Python实现不确定性市场下美式看涨期权定价公式？

问题概述 #

已推导不确定性市场下含上确界（Sup）的美式看涨期权定价公式，需Python实现验证，参数与理论值如下：

• 当前股价 $Y=30$
• 无风险利率 $r=8%$/年
• 模型参数 $m=0.1$, $a=0.06$, $s=7.5$
• 到期时间 $T=0.25$ 年（3个月）
• 执行价格 $K=31$
• 理论定价：$0.2244$

基于的核心模型为《不确定性市场下的新型股票期权定价模型》中的不确定性微分方程股价过程，美式期权定价需求解行权时刻上确界与不确定性期望两个核心环节。

实现思路 #

1. 不确定性期望计算：基于Liu过程的逆累积分布函数，通过数值积分计算期望收益 $\mathbb{E}\left[ \max(Y_t - K, 0) \right]$
2. 上确界求解：在 $[0, T]$ 区间内，寻找使折现后期望收益最大的行权时刻，使用数值优化方法实现

Python代码实现 #

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import fminbound

# 验证案例参数
Y0 = 30
r = 0.08
m = 0.1
a = 0.06
s = 7.5
T = 0.25
K = 31
theoretical_price = 0.2244

def inv_liu_cdf(alpha, t):
    """标准Liu过程的逆累积分布函数（不确定性理论核心函数）"""
    sqrt_3t = np.sqrt(3 * t)
    return (sqrt_3t / np.pi) * np.log(alpha / (1 - alpha))

def expected_payoff(t, Y0, K, m, a, s):
    """计算t时刻的期望行权收益"""
    # 论文中股价过程的解析解：Y_t = Y0 * exp( (m - 0.5*a*s²)*t + s*C_t )
    drift_term = (m - 0.5 * a * s**2) * t
    def integrand(alpha):
        c_t = inv_liu_cdf(alpha, t)
        y_t = Y0 * np.exp(drift_term + s * c_t)
        return max(y_t - K, 0)
    # 数值积分计算期望（积分区间[0,1]）
    exp_val, _ = quad(integrand, 0, 1, epsabs=1e-6)
    return exp_val

def american_call_price(Y0, r, T, K, m, a, s):
    """计算美式看涨期权定价：折现后最大期望收益"""
    def objective(t):
        if t == 0:
            return max(Y0 - K, 0)
        # 折现到当前时刻的价值
        discount_factor = np.exp(-r * t)
        return discount_factor * expected_payoff(t, Y0, K, m, a, s)
    # 用黄金分割法寻找区间[0,T]内的最大值（取负转为最小值问题求解）
    _, max_val, _, _ = fminbound(lambda t: -objective(t), 0, T, full_output=True)
    return -max_val

# 执行计算并验证
calculated_price = american_call_price(Y0, r, T, K, m, a, s)
print(f"计算价格: {calculated_price:.4f}")
print(f"理论价格: {theoretical_price:.4f}")

关键调整说明 #

• 若论文中股价过程的解析解形式不同，需修改expected_payoff中的y_t计算逻辑
• 积分精度可通过quad函数的epsabs参数调整，提高计算准确性
• 上确界搜索可替换为网格搜索+局部优化的组合方式，平衡效率与精度

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Harsh Raj Ambastha