Scipy中InverseJacobian与BroydenFirst作为预条件器的底层原理问询

我正试图精准理解scipy.optimize.InverseJacobian与scipy.optimize.BroydenFirst的底层运作机制，尤其是将它们作为scipy.optimize.newton_krylov的inner_M参数时的具体行为。

举个具体场景：当选择GMRES方法时，newton_krylov需要求解形如$J(x^k)\delta_xk=-F(x^{k)$的等价牛顿问题，但它并非直接计算雅可比矩阵，而是通过近似矩阵向量乘积$J(x}k)\delta_x^k$来实现。

我了解到使用（近似）逆雅可比矩阵作为预条件器有助于加速收敛，因此推测scipy.optimize.InverseJacobian会对$J(x^k)$进行某种近似，但有两个核心疑问：

• 这种近似的具体数学方式是什么？
• 该近似是在GMRES的每次外层迭代中更新，还是仅在初始阶段计算一次？

我已成功运行以下代码，但希望从数学层面深入理解其运作逻辑：

jac = BroydenFirst()
x0 = scipy.optimize.newton_krylov(fun, 
                                  x0, 
                                  # 其他参数省略
                                  inner_M=InverseJacobian(jac))

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sceki