如何在Julia中利用根轨迹法求解特定增益K对应的根数值

首先，你提供的代码没有符合ControlSystems库中根轨迹分析的标准形式，需要先将方程整理为根轨迹的标准特征方程形式：1 + K'·G₀(x) = 0，再进行后续计算。

步骤1：整理方程 #

你的目标方程是：

1 + Kᵇ / (x^(b-1)·(x-a)) = 0

可改写为根轨迹标准形式：

1 + K'·[1/(x^(b-1)·(x-a))] = 0

其中K' = Kᵇ，G₀(x) = 1/(x^(b-1)·(x-a))是待分析的开环传递函数。

步骤2：使用ControlSystems库计算根轨迹对应增益的根 #

以下是完整可运行代码：

using ControlSystems, LinearAlgebra

# 定义参数
K = 100
a = 5
b = 10

# 构造开环传递函数G₀(s) = 1/(s^(b-1)*(s-a))
num = [1]
# 分母多项式：s^(b-1)*(s-a) 展开后的系数
den = poly(vcat(zeros(b-1), [a]))
G₀ = tf(num, den)

# 计算对应增益K' = K^b的根
K_prime = K^b
roots_at_K = rlocusgain(G₀, K_prime)[1]

# 输出结果
println("对应增益K=$K的根：")
display(roots_at_K)

步骤3：直接验证（可选） #

也可以直接求解等价的多项式方程xᵇ - a·x^(b-1) + Kᵇ = 0，结果一致：

# 构造多项式系数：x^b - a*x^(b-1) + K^b
poly_coeffs = vcat([1], [-a], zeros(b-2), [K^b])
roots_direct = roots(poly_coeffs)

println("\n直接求解多项式的根：")
display(roots_direct)

关键说明 #

• rlocusgain(G, K)函数会返回对应增益K下的闭环系统极点（即特征方程的根），这正是你需要的结果。
• 确保ControlSystems库已正确安装，若未安装可先运行using Pkg; Pkg.add("ControlSystems")。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kanishk Sharma