图像裁剪/缩放/去畸变后相机内参与畸变系数变化规律问询

本文旨在明确图像经过裁剪、缩放、去畸变操作后，相机内参（camera matrix）和畸变系数（distortion coefficients）的精确变化规律，以下是已知的操作后参数变化趋势及实际校准数据：

各操作的参数变化趋势 #

1. 裁剪操作 #

• 图像尺寸：从[848, 480]变为[582, 326]
• 内参变化：fx、fy基本不变，cx、cy分别减少133、77
• 待明确：畸变系数的变化公式

2. 缩放操作 #

• 图像尺寸：从[582, 326]变为[848, 480]
• 内参变化：fx、cx约为裁剪后数值的1.457倍，fy、cy约为裁剪后数值的1.472倍
• 畸变系数：理论上保持不变

3. 去畸变操作 #

• 内参变化：基本不变
• 畸变系数：理论上变为[0, 0, 0, 0]（实际校准值因误差近似为0）

实际相机校准数据 #

【原始参数】 #

• 内参：fx=402.242923，fy=403.471056，cx=426.716067，cy=229.689399
• 畸变系数：k1=0.068666，k2=-0.039624，p1=-0.000182，p2=-0.001510

【裁剪后参数】 #

• 内参：fx≈408.235312（基本不变），fy≈409.653612（基本不变），cx≈297.611639（减少133），cy≈153.667098（减少77）
• 畸变系数：k1=0.048520，k2=-0.010035，p1=0.000943，p2=-0.000870

【裁剪后缩放参数】 #

• 内参：fx≈598.110106（约为裁剪后fx的1.457倍），fy≈608.949995（约为裁剪后fy的1.472倍），cx≈430.389861（约为裁剪后cx的1.457倍），cy≈226.585804（约为裁剪后cy的1.472倍）
• 畸变系数：k1=0.054762，k2=-0.025597，p1=0.002752，p2=-0.001316

【去畸变后参数】 #

• 内参：fx≈404.312916（基本不变），fy≈405.544033（基本不变），cx≈427.986926（基本不变），cy≈229.213162（基本不变）
• 畸变系数：k1≈-0.000838，k2≈0.001244，p1≈-0.000108，p2≈0.000769（近似为0）

畸变系数的精确变化规律推导 #

1. 裁剪操作后的畸变系数变换 #

裁剪本质是选取图像的子区域，对应像素坐标系原点平移。设水平偏移量为Δx = 原始cx - 裁剪后cx（此处为133），垂直偏移量为Δy = 原始cy - 裁剪后cy（此处为77）。

径向畸变系数（k1、k2）变换

原始归一化坐标：x = (u - cx)/fx，y = (v - cy)/fy
裁剪后归一化坐标：x' = (u' - cx')/fx' ≈ x + Δx/fx，y' = y + Δy/fy（因fx、fy基本不变）

径向畸变模型为：x_distorted = x(1 + k1*r² + k2*r⁴)，y_distorted = y(1 + k1*r² + k2*r⁴)，其中r² = x² + y²。

裁剪后，新的畸变系数需满足裁剪区域内原始畸变模型与裁剪后模型等价。通过泰勒展开近似，可得：

k1' ≈ k1 / (1 + 2k1*( (Δx/fx)² + (Δy/fy)² ))
k2' ≈ k2 / (1 + 4k2*( (Δx/fx)² + (Δy/fy)² ))

注：该近似存在误差，更精确的方式是将裁剪后像素映射回原始相机归一化坐标，重新拟合畸变系数——这也是实际校准数据与近似值有差异的原因。

切向畸变系数（p1、p2）变换

切向畸变模型为：x_distorted = x + 2p1xy + p2(r² + 2x²)，y_distorted = y + p1(r² + 2y²) + 2p2xy。

将x替换为x' = x + Δx/fx、y替换为y' = y + Δy/fy，忽略高阶小项后，近似公式为：

p1' ≈ p1 + (2k1*ΔxΔy)/(fx*fy)
p2' ≈ p2 + (k1*(Δx² - Δy²))/(fx² - fy²)

2. 缩放操作后的畸变系数变换 #

缩放操作中，水平缩放比例sx = 848/582 ≈ 1.457，垂直缩放比例sy = 480/326 ≈ 1.472。内参按比例缩放后，缩放前后的归一化坐标保持一致：
x = (u - cx)/fx = (u'*sx - cx'*sx)/(fx'*sx) = (u' - cx')/fx' = x'
同理y = y'。

由于归一化坐标未发生变化，理论上畸变系数应保持不变。实际数据中的差异源于缩放插值误差或重新标定的系统误差。

3. 去畸变操作后的畸变系数 #

去畸变通过反向映射校正图像，使畸变后的像素回归无畸变状态，因此理论上畸变系数应为[0, 0, 0, 0]。实际校准值近似为0是标定过程的正常误差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mphong