CRC突发错误检测性能的矛盾表述：两种还是三种检测概率？

一、两种表述都正确，只是适用场景不同 #

• 英文维基的结论是n位CRC的通用规律：所有长度≤n位的单突发错误可100%检测；长度超过n位的单突发错误，检测率为1 - 2^-n。这是数学推导的通用上限结论。
• 德文维基是针对CRC-16的具体场景做了细化：
  • 长度≤16位的突发错误：100%检测，和通用结论完全一致。
  • 17位突发错误：检测概率≈0.99997，其实就是1 - 1/2^16的近似值（精确值约0.99996948）。
  • ≥18位突发错误：检测概率≈0.99998，这是因为标准CRC-16采用的是本原多项式，这类多项式的特性会让长突发错误的漏检概率略低于1/2^16，因此检测概率略高于通用公式的结果。

二、检测概率的计算逻辑 #

1. 长度≤n位的单突发错误 #

这类错误的错误多项式可以表示为E(x) = x^k + 1（k≤n-1，对应突发长度k+1位）。由于CRC生成多项式G(x)的次数为n，且常数项为1（不含x因子），E(x)和G(x)必然互质，无法被G(x)整除，因此CRC校验一定会报错，实现100%检测。

2. 长度为n+1位的单突发错误（以CRC-16的17位突发为例） #

这类错误的多项式是E(x) = x^16 + 1。只有当G(x)能整除x^16 + 1时，错误才会被漏检。但标准CRC-16的生成多项式（比如CRC-16-CCITT的x^16 + x^12 + x^5 + 1）都不满足这个条件，因此漏检概率为1/2^16，检测概率就是1 - 1/2^16 ≈ 0.99997。

3. 长度>n+1位的单突发错误 #

对于长度m>n+1的突发错误，漏检的前提是错误多项式E(x)能被G(x)整除。当G(x)是本原多项式时，它整除x^k - 1的最小k值是2^n - 1（即本原多项式的周期），而实际数据块长度通常远小于这个值（比如CRC-16的周期是65535），因此这类漏检情况几乎不会出现，实际漏检概率略低于1/2^16，对应的检测概率就略高于1 - 1/2^16，这就是德文维基中≥18位突发错误检测概率≈0.99998的原因。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Silicomancer