如何将直线与已知函数交点的二元方程组转化为Ax=b形式求解？

核心思路：利用$f$的可逆性简化问题 #

先将原方程组化简为单变量方程：
从直线方程移项得：
m*(x_3 - x_2) = y_3 - y_2
结合函数关系$y_3 = f(x_3)$，代入后得到：
g(x_3) = m*x_3 - f(x_3) - (m*x_2 - y_2) = 0
这和你构造的$g(x)$一致，但利用$f$可逆的特性，我们可以有更高效的处理方式：

1. 当$f$存在解析反函数时：直接代数求解 #

若$f^{{-1}(y)$有明确的解析表达式（比如$f(x)=x}3$的反函数是$f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$，$f(x)=\ln x$的反函数是$f^{-1}(y)=ey$），可将方程转化为关于$y_3$的形式：
把$x_3 = f^{-1}(y_3)$代入直线方程：
m*f^{-1}(y_3) - y_3 = m*x_2 - y_2
直接求解该方程得到$y_3$，再通过$x_3 = f^{-1}(y_3)$得到交点横坐标。

MATLAB示例：
假设$f(x)=e^{x$（反函数$f}{-1}(z)=\ln z$），已知点$(x_2,y_2)=(1,2)$，斜率$m=0.5$：

x2 = 1; y2 = 2; m = 0.5;
% 构造关于z的方程：0.5*ln(z) - z = 0.5*1 - 2
syms z
eq = m*log(z) - z == m*x2 - y2;
sol_z = solve(eq, z);
y3 = double(sol_z);
x3 = log(y3); % 即f^{-1}(y3)

这种方式无需迭代，直接利用解析反函数计算，效率远高于迭代零点求解器。

2. 利用单调性优化数值求解 #

由于$f$可逆，说明$f$在定义域内严格单调，此时$g(x)=m*x - f(x)$的单调性由$g’(x)=m - f’(x)$决定：

• 若$g’(x)$恒正或恒负，$g(x)$严格单调、零点唯一，可使用二分法快速求解（只需确定$x_3$的大致区间），稳定性比牛顿法高，计算成本低；
• 若$f’(x)$容易计算，牛顿法是更优选择，二次收敛速度远快于普通迭代法，可手动实现或配合工具函数：

手动实现牛顿迭代的MATLAB示例：

function [x3, iter] = newton_intersection(m, x2, y2, f, df, x0, tol)
    iter = 0;
    x = x0;
    while abs(m*x - f(x) - (m*x2 - y2)) > tol
        x = x - (m*x - f(x) - m*x2 + y2)/(m - df(x));
        iter = iter + 1;
    end
    x3 = x;
end

% 调用示例：f(x)=e^x，其导数df(x)=e^x
f = @(x) exp(x);
df = @(x) exp(x);
x3 = newton_intersection(0.5, 1, 2, f, df, 1, 1e-8);
y3 = f(x3);

3. 重复求解场景：预计算反函数的拟合/查表 #

如果需要多次求解不同的$(x_2,y_2)$或$m$，可以预先对$f^{-1}(y)$做预处理：

• 拟合：在$f$的值域内取足够多采样点$y_i$，计算对应的$x_i=f^{{-1}(y_i)$，用`polyfit`或样条拟合工具得到$f}{-1}(y)$的近似表达式；
• 查表：将$y$的取值范围离散化，存储对应的$x=f^{-1}(y)$，求解时通过插值快速得到$x_3$。

这种方式将单次求解的成本分摊到预计算阶段，后续每次求解仅需简单代入或插值，效率极高。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sam