Sympy中无法在求和内对正交函数积分的问题求助

核心正交性结论 #

针对区间$[0,1]$上的正整数$m、n$，该积分满足正交特性：

• 当$m \neq n$时：
  $$\int_{0}^{1} \sin(m \pi y) \sin(n \pi y) dy = 0$$
• 当$m = n$时：
  $$\int_{0}^{1} \sin(m \pi y) \sin(n \pi y) dy = \frac{1}{2}$$

推导过程（基于三角恒等式） #

利用积化和差公式拆分被积函数：
$$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$$
代入$A=m\pi y$、$B=n\pi y$后拆分积分：

1. 若$m \neq n$，$(m-n)$和$(m+n)$均为非零整数，积分上下限代入后正弦值均为0，最终结果为0
2. 若$m = n$，积分简化为$\frac{1}{2}\int_{0}^{1}[1 - \cos(2m\pi y)] dy$，计算后得$\frac{1}{2}$

求和运算中的简化建议 #

在求和场景中直接利用正交性：

• 仅保留$m=n$的求和项，其余项因积分结果为0可直接忽略
• 将积分替换为对应结论后，可大幅简化后续的级数求和或方程求解步骤

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M. Lemelin