如何计算矩形内相交双圆构成的8字形外围长度？实现inkAmount方法

开发者阿泽

2026-7-25

问题分析与解法

核心思路

计算8字形外围的墨水量（即外围总长度），可按题目提示的思路：两个圆的总周长减去2倍的重叠弧长（重叠部分被两个圆各计算了一次，需从总周长中扣除两次）。

推导过程

确定圆的半径：每个圆与矩形三条边相切，因此圆的半径 r = a/2（矩形高度的一半）。
计算圆心距：两个圆分别靠近矩形左右两端，圆心的水平距离为 d = a - b（因 a ≥ b，直接取正值）。
计算重叠弧对应的圆心角：通过余弦定理推导，单个圆中重叠弧对应的圆心角（弧度制）为 2 * arccos(d/(2r))，代入 r 和 d 后简化为 2 * arccos( (a - b)/a )。
推导最终公式：
- 两个圆的总周长为 2 * 2πr = 2πa（代入 r=a/2）。
- 两个圆的重叠弧长总和为 2 * r * 2 * arccos( (a - b)/a ) = 2a * arccos( (a - b)/a )。
- 外围总长度 = 总周长 - 重叠弧长总和，最终简化为：
```
inkAmount = 2 * π * a - 2 * a * arccos( (a - b) / a )
```

代码实现（Java）

public class Pepe8Shape {
    public double inkAmount(int b, int a) {
        double theta = Math.acos( (a - b) / (double)a );
        return 2 * Math.PI * a - 2 * a * theta;
    }
}