使用蒙特卡洛法估算π值异常：迭代次数增加仍无法得到正确结果

问题根源 #

你的代码核心错误在于随机点的生成范围错误：

• 当前生成的x和y是[0, 2]区间的随机数，对应边长为2、面积为4的正方形。
• 但判断条件x² + y² ≤ 1仅覆盖该正方形中[0,1]×[0,1]的小区域（圆心在原点、半径1的四分之一圆），其面积为π/4。
• 此时点落在目标区域的概率为(π/4)/4 = π/16，乘以4后得到的结果自然是π/4 ≈ 0.785，和你得到的0.8左右的结果一致。

修正方案 #

两种标准修正方式任选其一即可：

方式一：使用[0,1]区间的正方形（对应四分之一圆） #

将随机数生成范围改为[0,1]，此时正方形面积为1，四分之一圆面积为π/4，用4 * (inside/max_iteration)即可正确估算π：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

double getRandomNumber(double lower_limit, double upper_limit){
    double random = ((double)rand())/RAND_MAX;
    double range = (upper_limit - lower_limit) * random;
    return (range + lower_limit);
}

double calculatePi(int max_iteration){
    int inside = 0;
    double x = 0;
    double y = 0;
    for(int i = 0; i < max_iteration; i++){
        x = getRandomNumber(0, 1);  // 修改为0到1区间
        y = getRandomNumber(0, 1);  // 修改为0到1区间
        if(x*x + y*y <= 1){
            inside++;
        }
    }
    return (4.0 * inside) / max_iteration;
}

int main(){
    srand(time(NULL));
    printf("Mean Value of 10000 Estimated Pi's = %lf\n", calculatePi(10000));  // 增加迭代次数提升精度
    return 0;
}

方式二：使用[-1,1]区间的正方形（对应完整圆） #

将随机数生成范围改为[-1,1]，此时正方形面积为4，完整圆面积为π，同样用4 * (inside/max_iteration)估算π：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

double getRandomNumber(double lower_limit, double upper_limit){
    double random = ((double)rand())/RAND_MAX;
    double range = (upper_limit - lower_limit) * random;
    return (range + lower_limit);
}

double calculatePi(int max_iteration){
    int inside = 0;
    double x = 0;
    double y = 0;
    for(int i = 0; i < max_iteration; i++){
        x = getRandomNumber(-1, 1);  // 修改为-1到1区间
        y = getRandomNumber(-1, 1);  // 修改为-1到1区间
        if(x*x + y*y <= 1){
            inside++;
        }
    }
    return (4.0 * inside) / max_iteration;
}

int main(){
    srand(time(NULL));
    printf("Mean Value of 10000 Estimated Pi's = %lf\n", calculatePi(10000));
    return 0;
}

额外提示 #

• 迭代次数建议增加到10000以上，100次样本量太小，估算结果波动极大，很难接近真实π值。
• 变量vector命名不够直观，改为distance_squared（距离平方）会更易读。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ello