3D仿射变换（TRS）组合计算：无需极分解的实现问询

当然可以不用显式构造矩阵做极分解，直接通过向量和四元数运算得到组合后的TRS参数。以下是具体步骤，先明确TRS变换的定义：我们默认每个TRS变换的顺序是先缩放，再旋转，最后平移，即对任意点v，变换公式为：
T(v) = r.rotate(s.component_multiply(v)) + t
其中r.rotate(v)表示用四元数r旋转向量v，component_multiply是分量-wise乘法。

1. 计算组合后的平移向量t_total #

这一步很直接，先把T0的平移向量t0经过T1的线性变换（缩放+旋转），再加上T1的平移t1：

t_total = r1.rotate( s1.component_multiply(t0) ) + t1

2. 计算组合后的旋转四元数r_total和缩放向量s_total #

我们需要从两个变换的线性组合中提取旋转和缩放，核心是利用标准正交基的变换，再通过正交化得到旋转基，同时提取缩放因子：

步骤2.1 计算三个标准基向量的变换结果 #

取x/y/z轴的单位向量e_x=(1,0,0)、e_y=(0,1,0)、e_z=(0,0,1)，分别计算它们经过T0和T1线性变换后的结果：

v_x = r1.rotate( s1.component_multiply( r0.rotate( s0.component_multiply(e_x) ) ) )
v_y = r1.rotate( s1.component_multiply( r0.rotate( s0.component_multiply(e_y) ) ) )
v_z = r1.rotate( s1.component_multiply( r0.rotate( s0.component_multiply(e_z) ) ) )

这三个向量构成了组合线性变换的矩阵列。

步骤2.2 对变换后的基向量做Gram-Schmidt正交化 #

由于各向异性缩放的存在，v_x/v_y/v_z不一定正交，我们需要将它们正交化得到正交单位基，这就是组合后旋转矩阵的列：

1. 处理第一个向量：

   u1 = v_x.normalize()  # 归一化得到第一个正交基
   s_x = v_x.magnitude() # 第一个缩放分量
   

2. 处理第二个向量：

   proj_y = v_y.dot(u1) * u1  # 计算v_y在u1上的投影
   v_y_ortho = v_y - proj_y   # 去除投影得到正交分量
   u2 = v_y_ortho.normalize() # 归一化得到第二个正交基
   s_y = v_y_ortho.magnitude()# 第二个缩放分量
   

3. 处理第三个向量：

   proj_z1 = v_z.dot(u1) * u1
   proj_z2 = v_z.dot(u2) * u2
   v_z_ortho = v_z - proj_z1 - proj_z2
   u3 = v_z_ortho.normalize()
   s_z = v_z_ortho.magnitude()
   

步骤2.3 得到最终的旋转和缩放 #

• 缩放向量s_total就是(s_x, s_y, s_z)
• 正交基u1/u2/u3构成了组合后的旋转矩阵，将这个矩阵转换为四元数就是r_total

关键说明 #

• 这种方法本质上是通过Gram-Schmidt正交化完成了极分解中正交部分的计算，避免了显式构造大矩阵和完整的极分解运算，计算量更低。
• 如果两个变换的缩放都是各向同性（即s0.x=s0.y=s0.z且s1.x=s1.y=s1.z），那么v_x/v_y/v_z会天然正交，此时正交化步骤可以简化为直接归一化，旋转四元数就是r1 * r0（四元数乘法），缩放向量就是s0.component_multiply(s1)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Xaldew