线性代数：如何将指定3阶矩阵转换为目标2阶矩阵

问题描述 #

原始3x3矩阵（R语言定义）：

matrix(c(5,3,1,0,3,1,0,0,1),ncol=3,byrow = T)
# 输出结果：
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    5    3    1
# [2,]    0    3    1
# [3,]    0    0    1

目标3x2矩阵（R语言定义）：

matrix(c(5,-4,3,-2,0,1),ncol=2,byrow = T)
# 输出结果：
#      [,1] [,2]
# [1,]    5   -4
# [2,]    3   -2
# [3,]    0    1

背景需求：对以下方程组进行保守近似：

5x+3y+z
3y+z
z

已知约束条件：

x+y+z = 定值
z = 定值

核心推导逻辑 #

通过保守近似将原方程组的每一项，用已知的x+y+z和z做线性组合表示：

• 第一式：5x+3y+z 近似为 5x+5y+z，拆解后得到 5*(x+y+z) - 4*z，对应系数对(5, -4)
• 第二式：3y+z 近似为 3x+3y+z，拆解后得到 3*(x+y+z) - 2*z，对应系数对(3, -2)
• 第三式：z 直接表示为 0*(x+y+z) + 1*z，对应系数对(0, 1)

具体转换步骤 #

1. 遍历原始矩阵的每一行（对应原方程组的一个式子），按照保守近似规则调整项的系数，将其转化为 A*(x+y+z) + B*z 的形式
2. 提取每一行对应的系数A和B，按顺序组成一个长度为2的向量
3. 将所有行的向量按行拼接，得到目标的3x2矩阵

内容的提问来源于stack exchange，提问作者one