使用double类型计算2^62到2^0的和结果不准确，原因何在？

我们需要计算等比数列 (2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^{62}) 的和，先尝试用double类型存储求和结果：

double sum = 0;
for (int i = 0; i < 63; i++) {
  sum += pow(2.0, i);
  // print("i : $i sum : $sum");
}
print(sum);

输出结果：

9223372036854776000.0

显然正确结果应该是奇数，但得到的sum是偶数。改用int类型存储后得到准确结果：

int sum = 0;
for (int i = 0; i < 63; i++) {
  sum += pow(2.0, i).toInt();
  //print("i : $i sum : $sum");
}
print(sum);

输出结果：

9223372036854775807

原因分析 #

• double类型的精度限制：double是遵循IEEE 754标准的64位浮点数，其中仅52位用于存储尾数（加上1位隐藏位，共53位有效精度）。这意味着double只能精确表示绝对值在 (-2^{53}) 到 (2^{53}) 之间的整数，超出这个范围的整数无法被精确存储。
• 目标数值的大小：本次计算的和为 (2^{63} - 1)，也就是9223372036854775807，这个数值远大于 (2^{53})（约9007199254740992）。当用double存储这个数时，它只能保存一个最接近的可表示值，也就是输出的9223372036854776000.0，这个值是偶数，与正确结果不符。
• int类型的适配性：这里使用的int是64位有符号整数，其取值范围正好是 (-2^{63}) 到 (2^{63} - 1)，完全可以容纳本次计算的结果，因此能精确存储求和值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user8234870