为何偶数长度数据集FFT的奈奎斯特频率位于频谱负半轴？

当计算偶数长度数据集的FFT时，得到的偶数个频率分箱里，奈奎斯特频率的分箱会落在双边频谱的负半轴而非正半轴，本质是由FFT的频率索引定义和奈奎斯特频率的特殊性共同决定的：

• FFT的频率索引规则：假设采样点数为偶数N，采样率为Fs，未做fftshift的FFT结果中，索引k对应的频率为 f_k = k * Fs / N（k从0到N-1）。其中：

  • k=0对应直流分量（0Hz）
  • k=1到k=N/2-1对应正频率，范围是Fs/N到Fs/2 - Fs/N
  • k=N/2对应奈奎斯特频率Fs/2
  • k=N/2+1到k=N-1对应负频率，等价于f_k = (k - N) * Fs / N，范围是-Fs/2 + Fs/N到-Fs/N

• fftshift的移位逻辑：fftshift的作用是将频谱中心移到0Hz，实现方式是交换FFT结果的前半部分和后半部分。对于偶数N，原索引顺序为[0,1,...,N/2-1, N/2, N/2+1,...,N-1]，移位后变成[N/2, N/2+1,...,N-1, 0,1,...,N/2-1]，对应频率就变成[Fs/2, -Fs/2 + Fs/N, ..., -Fs/N, 0, Fs/N, ..., Fs/2 - Fs/N]——奈奎斯特频率Fs/2自然出现在负半轴的起始位置。

• 奈奎斯特频率的特殊性：Fs/2这个频率的信号和它的负频率版本-Fs/2在离散采样下完全等价。比如复指数信号e^(j2π*(Fs/2)t)和e^(j2π*(-Fs/2)t)在离散采样点上的取值完全相同，无法区分。因此FFT只需要为这个分量分配一个索引，而传统规则将其放在k=N/2的位置，移位后就进入了负半轴区间。

对比奇数长度的FFT：因为N是奇数，不存在整数N/2的索引，最高正频率为(N-1)/2 * Fs/N，对应的负频率为-(N-1)/2 * Fs/N，移位后频谱完全对称。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Christian