如何在R语言中求解线性代数方程组的转换矩阵？

我有如下矩阵形式的线性方程组，想要得到预期的输出结果，但尝试用ginv函数（比如mat1 %*% MASS::ginv(u1)）无效，想知道是使用方式有误还是其他原因？

示例1 #

原方程组矩阵：

# 对应方程：2x+2y+2z；0x+0y+1z
mat1 <- matrix(c(2, 2, 2, 0, 0, 1), 2, byrow = TRUE)

目标向量（想要得到的线性组合）：

# 对应x+y+z
u1 <- matrix(c(1,1,1), 1, byrow=TRUE)

预期输出：

exp1 <- matrix(c(0.5,0), 2, byrow=TRUE)

示例2 #

原方程组矩阵：

# 对应方程：1x+1y+1z；0x+1y+0z
mat2 <- matrix(c(1, 1, 1, 0, 1, 0), 2, byrow = TRUE)

目标向量（想要得到的线性组合）：

# 对应x+z
u2 <- matrix(c(1,0,1), 1, byrow=TRUE)

预期输出：

exp2 <- matrix(c(1,-1), 2, byrow=TRUE)

你的问题出在ginv的使用逻辑上：我们需要找到系数向量k（即预期输出），使得k %*% mat = u——也就是把原方程组的行向量线性组合后得到目标向量u。你之前的写法mat %*% ginv(u)颠倒了矩阵乘法顺序，逻辑完全错误。

正确思路是求解线性方程组k %*% mat = u，等价于t(mat) %*% t(k) = t(u)，可以用广义逆或solve函数处理，具体实现如下：

示例1实现 #

library(MASS)
mat1 <- matrix(c(2, 2, 2, 0, 0, 1), 2, byrow = TRUE)
u1 <- matrix(c(1,1,1), 1, byrow=TRUE)

# 转换为转置形式求解，再转置回原格式
k1 <- t(MASS::ginv(t(mat1)) %*% t(u1))
k1
# 输出结果：
#      [,1]
# [1,]  0.5
# [2,]  0.0

示例2实现 #

mat2 <- matrix(c(1, 1, 1, 0, 1, 0), 2, byrow = TRUE)
u2 <- matrix(c(1,0,1), 1, byrow=TRUE)

k2 <- t(MASS::ginv(t(mat2)) %*% t(u2))
k2
# 输出结果：
#      [,1]
# [1,]    1
# [2,]   -1

如果矩阵t(mat)是列满秩的，也可以直接用solve函数简化写法：

# 示例1的简化写法
k1 <- t(solve(t(mat1), t(u1)))

但solve在矩阵非满秩时会报错，这时候ginv的广义逆处理更稳定。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者one