求解非线性递推关系：T[n] =1/n * T²[n/2]+n（n为2的幂）

已知递推式：
T[n] = (1/n) * T²[n/2] + n，其中n是2的幂。

步骤1：变量替换转化递推式 #

令n = 2^k（k为非负整数），定义新序列a_k = T[2^k] / 2^k，即T[2^k] = 2^k * a_k。

将其代入原递推式：

T[2^k] = (1/2^k) * T²[2^(k-1)] + 2^k

两边同时除以2^k，得到：

a_k = (T²[2^(k-1)]) / (2^k * 2^k) + 1

再将T[2^(k-1)] = 2^(k-1) * a_{k-1}代入右边，化简后得到简化的递推式：

a_k = (a_{k-1}²) / 4 + 1

步骤2：分析简化后的递推式 #

这个二次递推式没有通用的初等闭式解，但可通过以下方式求解：

• 特解情况：若初始条件T[1] = 2（即a_0 = 2），代入递推式可得a_k = 2对所有k成立，因此T[n] = 2n。验证代入原递推式：

  右边 = (1/n) * (2*(n/2))² + n = (1/n)*n² +n = n +n =2n = T[n]
  

  等式成立，这是一个简洁的闭式解。

• 一般情况：若初始条件T[1] = c（c≠2），则a_0 = c，后续项可通过递推式a_k = (a_{k-1}²)/4 +1迭代计算，最终转换回原变量：

  T[n] = n * a_{log2n}
  

  例如，若T[1]=0，则：

  • a_0=0，a_1=(0²)/4 +1=1 → T[2]=2*1=2
  • a_2=(1²)/4 +1=5/4 → T[4]=4*(5/4)=5
  • a_3=((5/4)²)/4 +1=25/64 +1=89/64 → T[8]=8*(89/64)=89/8=11.125

补充说明 #

由于该递推式是非线性的（包含T²[n/2]项），除上述特解外，不存在通用的初等函数形式闭式解，只能通过迭代或数值方法得到特定n对应的T[n]值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tonythestark