如何用SageMath从椭圆曲线的A+B与A-B点反推A、B点

核心原理 #

在椭圆曲线加法群中，若已知 ( C = A+B )、( D = A-B )，则可通过群运算的逆操作推导原点点：

• ( 2A = C + D ) → ( A = \frac{1}{2}(C + D) )
• ( 2B = C - D ) → ( B = \frac{1}{2}(C - D) )
  这里的(\frac{1}{2})指椭圆曲线中的点二分运算，即求解满足(2P = Q)的点(P)。

SageMath 实现步骤 #

1. 定义曲线与已知点
   替换示例中的有限域阶数(K)、曲线参数(m/n)，以及已知点(C=A+B)、(D=A-B)的坐标：

# 配置你的曲线参数
K = 17
E = EllipticCurve(GF(K), [2, 3])  # 对应曲线 y² = x³ + 2x + 3

# 已知点C=(x3,y3)、D=(x4,y4)，替换为你的实际坐标
C = E(5, 1)
D = E(10, 6)

2. 计算点A
   先求(C+D)，再对结果做二分运算：

Q1 = C + D
A = Q1 / 2  # Sage直接支持点的除法，等价于求2A=Q1的解

3. 计算点B
   先求(C-D)（等价于(C + (-D))），再做二分运算：

Q2 = C - D
B = Q2 / 2

4. 验证结果
   确认推导的点满足原条件：

print("A+B == C:", A + B == C)
print("A-B == D:", A - B == D)

注意事项 #

• 二分运算仅在(Q1)、(Q2)不是2阶挠点（即(2Q \neq O)，(O)为无穷远点）时有解；若为2阶点，可能无有效解或存在多个解。
• 当有限域特征≠2时，Sage的点除法会自动调用标量乘法逆运算，即通过计算2在乘法群中的逆元实现二分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Julien