如何用MATLAB生成满足A^T*A=I的m×n高斯随机矩阵

首先明确一个线性代数结论：当矩阵$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$且$m < n$时，不可能满足$A^T A = I_n$。原因是$A^T A$是$n \times n$矩阵，其秩最多为$\min(m,n)=m$，而$n$阶单位矩阵的秩为$n$，$m < n$时秩不匹配，因此这样的矩阵不存在。

如果你的实际需求是以下两种情况之一，可以用对应的MATLAB代码实现：

情况1：生成行正交归一的$m \times n$矩阵（满足$A A^T = I_m$） #

即矩阵的$m$个行向量两两正交且均为单位向量（$n > m$时可行），代码如下：

m = 3; n = 10; % 示例维度，m远小于n
A = randn(m, n); % 生成随机m×n高斯矩阵
A = orth(A.').'; % orth(A.')得到A行空间的正交归一基（列向量），转置后得到行正交归一的矩阵

注：orth函数返回的矩阵本身就是列正交归一的，因此转置后得到的矩阵行向量自然正交归一，无需额外的归一化步骤（你之前代码中的bsxfun是多余的）。

情况2：生成列正交归一的$n \times m$矩阵（满足$A^T A = I_m$，$n >> m$） #

如果你的需求实际是构造$n$行$m$列的矩阵，使得其$m$个列向量两两正交归一（此时$A^T A = I_m$），代码如下：

m = 3; n = 10; % 示例维度，n远大于m
A = randn(n, m); % 生成随机n×m高斯矩阵
A = orth(A); % orth直接返回列正交归一的矩阵，满足A^T*A=I_m

验证正交性 #

可以用以下代码验证结果是否符合要求：

• 对于情况1：norm(A*A' - eye(m))，结果应接近0
• 对于情况2：norm(A'*A - eye(m))，结果应接近0

内容的提问来源于stack exchange，提问作者livia