大学Coq项目：如何证明spec0定理？技术求助

你的原证明选择了对p归纳，但help函数是基于参数k递归定义的，对k做归纳才能更好地贴合函数的递归逻辑。以下是完整的证明过程：

首先确保导入必要的库：

Require Import Nat Lia.

完整证明：

Theorem spec0 : forall m n p k, (p <= k) -> (p | n) -> (p | m) -> p <= help m n k.
Proof.
  intros m n p k H_le H_div_n H_div_m.
  (* 对k进行归纳，贴合help的递归结构 *)
  induction k as [|k' IHk'].
  - (* 情况1：k = 0 *)
    simpl help. lia.
  - (* 情况2：k = 1 *)
    simpl help. lia.
  - (* 情况3：k = S k' *)
    simpl help.
    (* 分情况讨论两个mod的布尔判断结果 *)
    destruct (m mod (S k') =? 0) eqn:E1; destruct (n mod (S k') =? 0) eqn:E2.
    + (* 子情况1：S k'同时整除m和n，help返回S k' *)
      rewrite Nat.eqb_eq in E1, E2.
      apply Nat.le_trans with (S k').
      assumption. (* 利用前提p <= S k' *)
      reflexivity. (* S k' <= S k' *)
    + (* 子情况2：S k'整除m但不整除n *)
      rewrite Nat.eqb_eq in E1, E2.
      (* 因为p整除n，而S k'不整除n，所以p不可能等于S k'，故p <= k' *)
      assert (p <= k') by lia.
      apply IHk' with (p := p).
      assumption. assumption. assumption.
    + (* 子情况3：S k'不整除m，无论n的情况如何 *)
      rewrite Nat.eqb_eq in E1.
      (* 同理，p整除m，S k'不整除m，故p <= k' *)
      assert (p <= k') by lia.
      apply IHk' with (p := p).
      assumption. assumption. assumption.
Qed.

关键步骤解释： #

• 归纳对象选择：对k归纳是核心，因为help的递归分支完全依赖k的结构，归纳假设能直接覆盖help m n k'的调用场景。
• 分情况讨论：对应help函数里的两个if判断，逐一拆解布尔条件的含义，利用Nat.eqb_eq将布尔等式转换为可推理的命题等式。
• 断言辅助：当S k'不整除m或n时，通过lia自动证明p <= k'，为调用归纳假设提供必要前提。
• 自动推理：lia工具能自动处理自然数的线性不等式和整除关系的简单推导，简化证明过程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alexandr