在Drake中用SOS交替法寻找时间反转Van der Pol的Lyapunov V失败问询

问题描述 #

我按作业要求用交替法求解[λ, ρ]和[V]，目标是找到能最大化时间反转Van der Pol振荡器**区域吸引域（ROA）**的Lyapunov函数V，具体步骤：

• 0. 用V = x^T P x初始化，其中P是RealContinuousLyapunovEquation的解；
• 1. 采用课堂同款SOS程序求解λ、ρ；
• 2. 寻找满足上述λ、ρ约束及Lyapunov条件的任意V。

但求解器始终失败，哪怕把V的初始猜测设为P，也找不到可行解。

疑问 #

1. 求解器失败是不是数值问题导致的正常情况？我实在搞不懂为什么第二个SOS程序解不出来；
2. 这个问题有没有可行的解决方案？

分析与解决方案 #

关于数值问题的判断

是的，这类交替优化的SOS问题出现求解失败大概率是数值问题导致的，属于常见情况：

• 第一步求解得到的λ、ρ是基于初始V（即P）的最优边界，当固定这组λ、ρ去求解新V时，约束可能变得过于严苛，理论上的可行域在数值求解中被“压缩”到不存在；
• SOS本质依赖半定规划（SDP）求解，约束的非线性耦合、求解器的数值精度限制，都可能让求解器误判为无解，哪怕理论上存在可行解。

可行的解决方向

• 给约束加松弛项：在Lyapunov或ROA约束中加入微小的松弛系数（比如把-∇V·f(x) ≥ λ(V - ρ)改成-∇V·f(x) ≥ λ(V - ρ) + 1e-6），避免约束过于紧绷导致数值无解；
• 调整交替迭代策略：不要一次性固定λ、ρ到最优值，而是逐步迭代：先用初始V求次优的λ、ρ，再用这组次优值求新V，接着用新V再优化λ、ρ，循环几次，每次给λ、ρ留一定余量；
• 扩展V的参数化形式：如果仅用二次型x^T P x表达能力不足，可以加入四次项（比如V = x^T P x + x_1^4 + x_2^4或更通用的张量形式），提升V的灵活性，更容易满足约束；
• 切换SDP求解器或调整参数：尝试换用不同的SDP求解器（比如从Mosek换成SCS、CVXOPT），或者调整求解器的迭代次数、可行性容忍度等参数，放宽数值精度要求；
• 验证约束一致性：手动把初始的P代入第二步的约束中，检查是否真的满足所有条件。如果P都不满足，说明第一步的λ、ρ求解存在问题，或者时间反转系统的Lyapunov条件符号推导有误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者oswinso