寻求曼德博集合图像像素分类方法：完全内/外/不确定

核心判定原则 #

严格保证：标记为「完全内部」的像素所有点均属于曼德博集合；允许将实际内/外部像素误判为「不确定」，但绝不允许将外部点误判为内部点。

针对内部像素的严格判定方法 #

1. 基于内部距离估计的保守判定法 #

这是最可靠的内部像素判定方式，核心是通过计算内部点到集合边界的距离下界，判断像素是否完全落在集合内部：

• 步骤1：初步筛选内部点
  对像素中心坐标(cx, cy)执行逃逸时间算法，设置足够大的迭代次数（比如基础迭代1000次后，再追加500次验证迭代），若始终未逃逸（|z_n| ≤ 2），则视为候选内部点。
• 步骤2：计算内部距离下界
  迭代过程中同时计算导数序列f'_n（初始f'_0 = 1，迭代公式f'_n = 2 * z_{n-1} * f'_{n-1}）。对于稳定的内部点，迭代到后期z_n会收敛，此时用以下公式计算近似内部距离：

  d_est = |z_n| * log(|z_n|) / |f'_n|
  

  为保证严格性，取保守下界d = d_est * 0.5（系数可根据精度需求调整，越小越保守）。
• 步骤3：像素范围验证
  计算像素半宽w（视口宽度/图像宽度/2），若d ≥ w，说明该像素内所有点到集合边界的距离都大于像素半宽，可标记为「完全内部」；否则标记为「不确定」。

2. 角点辅助验证（针对深凹槽场景） #

针对你提到的深凹槽问题，可在上述方法基础上增加像素角点验证：

• 对候选内部像素，额外检查其四个角点的坐标是否均为内部点（同样执行足够次数的逃逸迭代）。
• 若任意一个角点被判定为外部点，直接标记该像素为「不确定」；若所有角点均为内部点，再结合内部距离下界判定是否为「完全内部」。

外部像素与不确定像素的处理 #

• 完全外部像素：对初步判定为外部的点，计算外部距离（公式同内部距离估计，外部点的d_est代表到边界的距离），若d_est ≥ w，标记为「完全外部」；否则标记为「不确定」。
• 不确定像素：所有未通过上述严格判定的点（包括内部距离不足的候选内部点、角点验证失败的点、外部距离不足的候选外部点），统一标记为「不确定」。

关键细节优化 #

• 迭代次数设置：内部点的迭代次数必须足够大，避免将靠近边界的伪内部点（迭代多次后才逃逸）误判为内部点。可设置动态迭代阈值：当|z_n|连续100次迭代变化小于1e-10时，视为收敛，停止迭代。
• 数值精度控制：迭代过程中使用双精度浮点数，避免因精度损失导致的导数计算错误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Paul Aner