R语言KFAS包中初始化何时会改变滤波和平滑结果？

我想了解KFAS包中初始化对滤波和平滑结果的重要性。以下代码先采用精确 diffuse 初始化复现KFAS文献里的带漂移随机游走示例，之后改用更简单的显式初始化P1 <- matrix(c(1e7, 0, 0, 1e7), 2, 2)，两种方法的结果几乎完全一致，符合预期。

但更换数据集（tdx为待分析的税率序列，约100个数据点，可提供给尝试解答的人）后，情况出现差异：

• 使用P1 <- matrix(0, 2, 2); P1inf <- diag(2)的版本得到了合理的滤波和平滑结果；
• 使用P1 <- matrix(c(1e7, 0, 0, 1e7), 2, 2)的版本结果完全不合理，和参考版本毫无重合，呈现发散趋势。

我原本预期两个模型结果接近，差异仅集中在序列开头的初始化阶段，但实际两者差异巨大，第二个模型的滤波结果完全不可信。请问这是怎么回事？

复现代码 #

rm(list = ls())
library(KFAS)
data("alcohol", package = "KFAS")

deaths <- window(alcohol[, 2], end = 2007)
population <- window(alcohol[, 6], end = 2007)
data <- deaths / population

# load("data_tdx.RData")
# data <- tdx

# 这是KFAS文献中的模型（带漂移的随机游走）
Zt <- matrix(c(1, 0), 1, 2)
Ht <- matrix(NA)
Tt <- matrix(c(1, 0, 1, 1), 2, 2)
Rt <- matrix(c(1, 0), 2, 1)
Qt <- matrix(NA)
a1 <- matrix(c(1, 0), 2, 1)
P1 <- matrix(0, 2, 2)
P1inf <- diag(2)
model_gaussian <- SSModel(data ~ -1 +
  SSMcustom(Z = Zt, T = Tt, R = Rt, Q = Qt, a1 = a1, P1 = P1,
  P1inf = P1inf), H = Ht)

fit_gaussian <- fitSSM(model_gaussian, inits = c(0, 0), method = "BFGS")
out_gaussian <- KFS(fit_gaussian$model)

# 复现文献中的图1
temp <- cbind(data, out_gaussian$a[,1], out_gaussian$alphahat[,1])
cols <- c("black","red","blue")
lwd <- 2
lty <- c(1,1,1)
plot.ts(temp, plot.type="single", col = cols,lwd = lwd,lty=lty,xlab="",ylab="",main="")
legend("bottomright",
       legend = c("观测数据","滤波趋势","平滑趋势"),
       col = c("black","red","blue"), lty = c(1,1,1),
       lwd = c(2,2,2), bty="n", cex=0.9 )


# 采用显式初始化的相同模型
P1 <- matrix(c(1e7, 0, 0, 1e7), 2, 2)
model_gaussian1 <- SSModel(data ~ -1 +
  SSMcustom(Z = Zt, T = Tt, R = Rt, Q = Qt, a1 = a1, P1 = P1), H = Ht)

fit_gaussian1 <- fitSSM(model_gaussian1, inits = c(0, 0), method = "BFGS")
out_gaussian1 <- KFS(fit_gaussian1$model)

temp <- cbind(data, out_gaussian1$a[,1], out_gaussian1$alphahat[,1])
cols <- c("black","red","blue")
lwd <- 2
lty <- c(1,1,1)
plot.ts(temp, plot.type="single", col = cols,lwd = lwd,lty=lty,xlab="",ylab="",main="")
legend("bottomright",
       legend = c("观测数据","滤波趋势","平滑趋势"),
       col = c("black","red","blue"), lty = c(1,1,1),
       lwd = c(2,2,2), bty="n", cex=0.9 )

(check <- cbind(out_gaussian$a[,1], out_gaussian1$a[,1],
               out_gaussian$alphahat[,1], out_gaussian1$alphahat[,1]))

问题原因分析 #

1. Diffuse初始化的本质差异
   带漂移的随机游走模型中，趋势项（随机游走）、漂移项（常数）都是非平稳状态。精确diffuse初始化（P1inf）专门处理这种“初始状态完全未知”的非平稳情况，它本质是将对应状态的初始协方差设为无穷大，告诉卡尔曼滤波：完全由数据驱动估计初始状态，不引入任何先验假设。

2. 大数值协方差初始化的局限性
   用1e7这类超大值代替无穷大，看似等价，实则存在致命问题：

   • 当数据集信号噪声比低（比如税率序列波动平缓、观测噪声大），大初始协方差会让滤波初期过度依赖初始猜测值（a1），忽略观测数据的修正作用；
   • 卡尔曼滤波的递推公式对数值敏感，大协方差会导致增益计算出现不稳定，后续递推逐渐发散；
   • 对于漂移项这种无随机波动的状态，大初始协方差会让模型错误认为其不确定性极大，而diffuse初始化能正确识别这类状态的“确定性未知”属性。

3. 数据集特性的影响
   酒精死亡率序列信号噪声比高、趋势明显，大初始协方差带来的偏差会被数据快速修正，因此结果和diffuse初始化接近；但税率序列可能趋势平缓、噪声相对较大，数据无法快速修正偏差，最终导致结果发散。

解决建议 #

• 优先使用精确diffuse初始化：对于非平稳状态（如随机游走、常数漂移），直接用P1inf指定扩散状态，这是KFAS针对这类模型设计的标准初始化方式；
• 谨慎设置显式初始化：若必须用显式协方差，不要随意设超大值，可通过序列前几个观测的方差估计初始状态的不确定性，或结合领域先验信息设置合理值；
• 检查模型适配性：确认税率序列是否真的适合带漂移的随机游走模型，若序列趋势不明显，可考虑去掉漂移项或调整模型结构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Stefan Boeters