SageMath构造椭圆曲线同源遇参数错误，求正确实现方法

错误原因 #

• 多项式环不匹配：你创建了四元多项式环R.<x,y,z,t>，但E.isogeny()要求核多项式必须是椭圆曲线基域（GF(43)）上的单变量多项式（即GF(43)[x]的元素），多变量环的元素无法被函数解析。
• 核多项式结构无效：你的多项式(x-37)^2*(x-40)^2存在冗余重数，椭圆曲线同源的核是有限子群，子群中非单位点的x坐标作为多项式根时，无需重复平方——这种错误的重数会导致函数无法识别对应的合法子群。

正确构造方式 #

方式1：通过子群生成元直接构造 #

先定位目标核子群的生成元，将生成元或子群对象传入E.isogeny()：

# 初始化基域与椭圆曲线
F = GF(43)
# 用Weierstrass标准形式定义曲线（对应y² = x³ -14x² -6x +17）
E1 = EllipticCurve(F, [-14, -6, 0, 0, 17])

# 找到核子群的2阶点（对应你多项式中的根）
# 求解y=0时的x根，即2阶点的x坐标
poly = x^3 -14*x^2 -6*x +17
roots = poly.roots(F)
P = E1(roots[0][0], 0)
Q = E1(roots[1][0], 0)

# 生成目标子群（论文示例2.5中的4阶子群）
target_subgroup = E1.subgroup([P, Q])

# 构造同源
phi = E1.isogeny(target_subgroup)

方式2：使用合法的单变量核多项式 #

若坚持用核多项式构造，需确保多项式是核子群所有非单位点x坐标的无重数乘积：

# 定义单变量多项式环
R.<x> = F[]

# 计算P+Q的x坐标（子群中的第三个非单位点）
PQ = P + Q
# 构造核多项式：包含所有非单位点的x坐标
kernel_poly = (x - P[0]) * (x - Q[0]) * (x - PQ[0])

# 生成同源
phi = E1.isogeny(kernel_poly)

关键注意事项 #

• E.isogeny()的核多项式参数，其根必须严格对应核子群中所有非单位点的x坐标：2阶点（y=0）仅对应一个根，非2阶点则每个x坐标对应两个点（±y），但多项式只需包含一次该x因子。
• 始终使用曲线基域上的单变量多项式环，不要引入无关变量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者stillconfused