如何正确绘制四次多项式向量场的分岔图？

安全阿岳

2026-7-21

解决Maxima绘制四次多项式向量场分岔图的问题

问题根源

你当前的代码存在两个核心问题：

未引入分岔参数t，无法体现三个根绕原点旋转的分岔过程（你构造的p(z)=z(z² + z + e^(2πit))里的e^(2πit)完全没在代码中体现）
直接使用复变量z而未拆分为实部x和虚部y，Maxima的plotdf仅处理实平面的向量场，需要明确基于实变量的分量表达式

修正后的Maxima实现步骤

定义复变量与分岔参数
将复变量z拆分为实部x和虚部y，引入分岔参数t（范围[0,1)，对应旋转一周）：
```
z: x + %i*y;
t: 0.2; /* 可替换为0到1之间的任意值，观察分岔变化 */
p: z*(z^2 + z + exp(2*%i*%pi*t));
```

提取向量场的实部和虚部分量
对p(z)展开后分离实部和虚部，得到平面向量场的两个分量：

r: realpart(p);
m: imagpart(p);
/* 展开简化表达式，避免绘图时计算卡顿 */
r: expand(r);
m: expand(m);

优化绘图参数
调整plotdf的范围、箭头密度等参数，让分岔特征更清晰：

plotdf([r, m], [x, y],
       xrange = [-2, 2], yrange = [-2, 2],
       fieldplot = true, /* 启用向量场箭头 */
       arrowsize = 0.5,
       grid = [20, 20], /* 控制箭头密度 */
       title = concat("t = ", float(t)));

生成分岔动画（可选）
若要观察t变化时的分岔过程，可使用循环生成多帧图像或直接创建动画：

for t_val from 0 step 0.05 thru 1 do (
  p: z*(z^2 + z + exp(2*%i*%pi*t_val)),
  r: expand(realpart(p)),
  m: expand(imagpart(p)),
  plotdf([r, m], [x, y],
         xrange = [-2, 2], yrange = [-2, 2],
         fieldplot = true,
         arrowsize = 0.5,
         title = concat("t = ", float(t_val)),
         filename = concat("bifurcation_", string(t_val), ".png"))
);